Решение. Начальные условия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Дата добавления: 2015-01-16; просмотров: 1134; Нарушение авторских прав

Теорема. Если в уравнении

y⁽ⁿ⁾⁼f(x, y, y`, y``, …, y⁽ⁿ^-1))

функция f(x, y, y`, y``, …, y⁽ⁿ^-1)) и ее частные производные по аргументам x, y, y`, y``, …, y⁽ⁿ^-1) непрерываны в некоторой области, содержащие значения

х=х₀, у=у₀, y`=y`₀, …, y⁽ⁿ^-1)=y₀⁽ⁿ^-1)

то существует, и причем единственное, решение у=у(х) уравнения, удовлетворяющее условиям

y│_х-х0=y₀, y`│_x₌_x₀=y`₀,…, y⁽ⁿ^-1)│_x₌_x₀=y₀⁽ⁿ^-1)(2)

Эти условия называются начальными условиями.

Если рассматривать уравнения второго порядка

y``=f(x, y, y`)

то начальными условиями при х=х₀ для решения будут условия

y=y₀, y`=y`₀

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

зависящая от n произвольных постоянных С₁,С₂, …, С_n.

y=ɸ(x, C₁, C₂, …, C_n)

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конктретных значениях постоянных С₁, С₂, называется частным решением.

10. Решение уравнений вида y₍_n₎=f(x); y''=(x,y'); y''=f(y,y')

1 тип. Уравнение вида y₍_n₎ = f (x).

Общее решение данного уравнения находится n –кратным интегрированием.

2 тип.Уравнение вида F(x, y⁽^k⁾ , y⁽^k⁺¹⁾ ,..., y⁽ⁿ⁾ )= 0 .

Это уравнение не содержит искомой функции y(x) и ее производных до порядка k −1 включительно. Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой z = y⁽^k⁾. Здесь функция z рассматривается как новая неизвестная функция от x , то есть z = z(x). При такой замене уравнение примет вид

F(x,z,z′,...,z⁽ⁿ⁻^k⁾ )= 0.

Если удастся найти общее решение полученного уравнения z = ϕ(x, C₁,..., C₍_n_-_k₎), то общее решение исходного уравнения найдется n -кратным интегрированием уравнения

y₍_n₎ = ϕ(x, C₁,..., C₍_n_-_k₎),

3 тип.Уравнение вида F(y, y′, y′′,..., y(n) )= 0 .

Это уравнение не содержит независимую переменную x .

Порядок уравнения можно понизить на единицу, используя подстановку y′ = p . Здесь функция p рассматривается как новая неизвестная функция от y , то есть p = p(y).

Все производные y′′,..., y⁽ⁿ⁾ выражаются через производные от функции p по y . Соответствующие формулы имеют вид:

и так далее. Подставив эти выражения для производных в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение (n −1)-ого порядка относительно новой неизвестной функции p(y).

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Первый способ отыскания особого решения	\|	Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.