Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка
L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = f (x), (12.1)
где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).
Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения
L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = 0. (12.2)
Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) определены при всех значениях x.
Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение
К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида 
для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений
Характеристическое уравнение записывается при помощи определителя
