Полный дифференциал

. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде , (2)

Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

. (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что

а это и означает, что в точке функция непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

Деля на и переходя к пределу при , получаем:

Это означает, что в точке существует частная производная функции по и . (4)

Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная

. (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .