Формула Меллина обращения преобразования Лапласа

35. Вычисление несобственных интегралов.

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

36. Предельные соотношения и интеграл Дюамеля.

Соотношение (5) называется интегралом Дюамеля и представляет свертку производной от входного сигнала и переходной характеристики цепи. Интегри­руя последнее соотношение по частям можно получить другое представление реакции линейной цепи (другую форму записи интеграла Дюамеля):

Интеграл свертки можно выразить через переходную характеристику. Это приводит к интегралу Дюамеля. Для его получения используем записанную связь h_d = dh/dt, из которой произведение h_d(t – x) dx можно представить как – dh(t – x):

.

В последнем преобразовании использована формула интегрирования по частям. Так как вне интегральный член равен нулю, то окончательно получим

,

где .

Неудобство этого выражения связано с d-слагаемыми в , которые появляются, если входной сигнал f₁(t) имеет разрывы. При наличии разрыва в точке t = 0 [f₁(– 0) = 0, f₁(+ 0) ¹ 0],] его можно выделить и записать

Последнее выражение является наиболее распространенной формой записи интеграла Дюамеля.

Если входная функция f₁ имеет разрывы, то для расчета переходного процесса временным методом удобнее использовать интеграл свертки, если она непрерывна, то — интеграл Дюамеля (при неограниченной характеристике h_d).

При выполнении расчетов временным методом следует обращать внимание на: 1) различное аналитическое описание функции f₁ на различных отрезках у импульсов сложной формы; 2) правильный учет неограниченного характера функции h_d (при вычислении интегралов с d-слагаемыми); 3) правильный учет разрывов функции f₁ в интеграле Дюамеля.

37.Решение дифференциальных интегральных уравнений и систему дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом.

Представим, что мы должны решить задачу Коши для дифференциального уравнения -го порядка с начальным условием . Если функция в правой части уравнения разлагается в ряды по всем своим переменным, удобно искать решение дифференциального уравнения в окрестности точки в виде ряда Тейлора по степеням . Представим решение в виде . Из начальных условий и свойств коэффициентов ряда Тейлора следует, что все коэффициенты разложения вплоть до нам известны:

остальные – неизвестные – коэффициенты обозначаются буквами и определяются сравнением коэффициентов при одинаковых степенях, находящихся в обеих частях дифференциального уравнения.