Изолированные особые точки однозначного характера

Тип особой точки z₀ функции определяется видом разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀:

1) тогда z₀ - устранимая особая точка;

2) тогда z₀ - полюс порядка m;

3) и бесконечное число коэффициентов отлично от нуля, тогда z₀ - существенно особая точка.

Если z₀ - полюс порядка m, то - аналитическая,

17. Теорема Сухоцкого-Вейурштрасса.

Теорема Сухоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.

В ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Формулировка:

Каково бы ни было > 0, в любой окрестности существенно особой точки, z₀ функции, ƒ(z) найдётся хотя бы одна точка, z₁, в которой значение функции, ƒ(z) отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на ɛ.

18. Вычеты, их вычисления и свойства.

Вычетом функции ƒ(z) в изолированной особой точке Z₀ называется число, характеризующий локальные свойства заданного.

- вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z₀:

(в круге нет других особых точек).

Если то

Таким образом, вычет функции ƒ(z) в изолированной особой точке Z₀,

Равен коэффициенту при ǀZ –Z₀ǀ^-1 в лорановском разложении этой функции в точке Z₀. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в изолированной особой точке равен 0.

Вычисление вычетов
Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции ƒ(z)

1. Z₀ – полюс первого порядка :

Умножим обе части этого равенства на Z –Z₀ и, переходя к приделу при

Z →Z₀получим, что:

Если функцию можно представить в виде дроби ,

Где, 𝛗(z) и 𝛙(z)- аналитические функции, причем 𝛗(z₀)≠0, 𝛙(z₀)= 0, 𝛙'(z₀)≠0, то есть Z₀– простой полюс, то из формулы вытекает, что

= .

19. Применение вычетов к вычислению интегралов. Теорема Лемма Жордана.

Пусть ƒ(х) рациональная функция т.е.

ƒ(x)= ,

Где P_n и Q_m многочлены степеней n и m соответственно. Если функция ƒ(x) непрерывна на всей действительной оси (Q_m(x)≠0) m n+2, т.е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то

Где σ – сумма вычетов функции

ƒ(x)= ,

во всех полюсах расположенных в верхней части полуплоскости ( существенно особых точек у рациональной функции нет).

Пусть функция ƒ(Z) аналитична в верхней полуплоскости , за исключением конечного числа особо изолированных точек, при ǀZǀ→

Стремиться к нулю равномерно относительно arg z. Тогда для любого положительного а

dz,

Где ɣR – верхняя полуокружность ǀZǀ =R, Im z

20.Основные методы. Дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения – это соотношение вида F(x₁,x₂,x₃,..,y,y′,y′′,...y⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимые переменные x₁,x₂,x₃,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, в которых содержится только одна независимая переменная.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится две и более независимых переменных.

Если производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции, то выразить интеграл через элементарные функции удается не всегда. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

явную зависимость функции от переменной.

Решение дифференциального уравнения – это функция y(x), определенная и достаточное число раз дифференцируемая в некоторой области, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество.

неявную зависимость в виде уравнения типа Ф(y,x)=0 или системы уравнений;

Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

решение может не выражается через элементарные функции;

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида y = y(x,C₁,C₂_,C₃,...C_n), зависящее от n произвольных постоянных.

Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C₁,C₂_,C₃,...C_n) = 0.

Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C₁,C₂_,C₃,...C_n.

Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁,C₂_,C₃,...C_n.

21.Дифференциальные уравнения 1-го порядка интегрируемые в квадратурах.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа элементарных (алгебраических) операций и квадратур. (Квадратурой называется операция отыскания первообразных.) Среди дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах, рассмотрим некоторые виды ДУ первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

22.Общее понятие дифференциальных уравнений высших порядков. Случаи понижения порядков.

Укажем некоторые виды дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение

II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка включительно:

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда уравнение примет вид

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим из уравнения k-кратным интегрированием.

III. Уравнение не содержит независимого переменного:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.

IV. Уравнение , однородное относительно аргументов , т.е.

Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой , где — новая неизвестная функция от .

V. Уравнение, записанное в дифференциалах,

в котором функция однородна относительно своих аргументов , если считать и — первого измерения, а и т.д. — измерения . Тогда будет иметь измерение , – измерение и т.д.

Для понижения порядка применятся подстановка . В результате получается дифференциальное уравнение между и , не содержащее явно , т. е допускающее понижение порядка не единицу (случай III).

23. Общее понятие о линейных дифференциальных уравнениях

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Если , то уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Когда коэффициенты являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x)).

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида .

24.Линейные зависимость и определение Вронского.

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .
Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимойна интервале (a, b).
Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x),y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).
Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b)больше трёх корней, поэтому равенство = 0 для возможно только при .
Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше n корней.
3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке .
4. Система функций также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.
Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель

25.Структура общего решения. Вариация. Понижение порядка.

Понижение порядка линейного однородного уравнения. Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение y_оо (x) = C₁ x + C₂ln x. В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной в виде y(x) = C₁(x) x + C₂(x)ln x. Система (33) для коэффициентов и будет такой:
Ответ: общее решение уравнения y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) = (- x ln x + C₁⁰)x + (в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).
В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка , если известна фундаментальная система решений y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде y(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + …+ C_n(x) y_n(x). Тогда: Метод вариации произвольных постоянных.Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения .

общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения: k² + 4 k - 5 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений y₁(x) = e ^-5x, y₂(x) = e ^x, y_оо(x) = C₁ e ^-5x + C₂ e^x. Ищем решение исходного уравнения в виде y(x) = C₁(x) e ^-5x + C₂(x)e^x. В соответствии с методом вариации система для нахождения будет Решаем эту систему:
Общее решение: (константы в окончательном ответе пере обозначены).

26.Линейные дифференциальные уравнения с постоянным коэффициентом.

Дифференциальное уравнение вида

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами надо составить характеристическое уравнение и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней . Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые

если эти корни простые, и слагаемые

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

27.Общие понятия о системах дифференциальных уравнений. И метод алгебраических уравнений (метод исключения).

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение at второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

28. Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Формула Остроградского — Лиувилля.

формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

тогда где — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

где — непрерывная квадратная матрица порядка , справедлива формула Лиувилля-Остроградского

где — след матрицы

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Пусть имеется дифференциальное уравнение

где функции a1(x), . . . , a_n(x) определены и непрерывны на промежутке I. Тогда совокупность всех решений этого уравнения есть линейное пространство размерности n.

Доказательство. То, что совокупность X всех решений данного дифференциального уравнения образует линейное пространство, уже доказано (см. теорему о линейном пространстве решений линейного однородного уравнения). Чтобы доказать, что

dim X = n, достаточно указать в X базис из n векторов.

29. Согласно теореме (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения) общее решение (обозначим его через у) линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму какого-нибудь его частного решения (обозначим через ) и общего решения (обозначим через ) соответствующего исходному линейного однородного дифференциального уравнения, т.е.:

Следовательно, для построения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо найти какое-нибудь одно его частное решение и общее решение соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного всегда может быть найдено методом вариации произвольной постоянной Лагранжа, поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения – функция является так называемой специальной правой частью, т.е. имеет вид:

где α и β – константы P_n (x) и Q_m (x) – многочлены от х соответственно n – ой и m – ой степени (или является суммой функций такого вида).

На практике чаще всего имеют дело со следующими частными случаями

Специальной правой части уравнения

30. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y—однородной линейной системой.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из Rⁿ^{+ 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы. функции и , которые удовлетворяют и первому и второмууравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычныесистемы линейных уравнений. Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений:

31. Понятие устойчивости Ляпунова.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым no Ляпунову при , если для любого существует такое, что для всякого решения , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

Имеют место равенства

для всех .

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения , неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым.

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

То решение называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения , некоторой системы, аналогичной системе (1),

(1')

где .

Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1').

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было , можно найти такое , что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию

(2')

выполняются неравенства

(3)

Для всех

32.Понятие дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть – область -мерного пространства точек , . Наиболее общее уравнение в частных производных -го порядка от независимых переменных может быть записано в следующем виде

, (1)

где , – неизвестная функция, – заданная функция от своих аргументов. Здесь называется областью задания уравнения (1).

Таким образом, уравнение в частных производных называется уравнением - го порядка, если оно содержит хотя бы одну частную производную - го порядка и не содержит производных более высокого порядка.

Определенная в области задания уравнения (1) функция , непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество по независимым переменным , называется классическим решением или просто решением дифференциального уравнения (1).

Уравнение в частных производных (1) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производных.

Линейное уравнение 1-го порядка можно написать в следующем виде

где и – заданные в области функции переменных . При этом функции , , …, , называются коэффициентами, а – правой частью или свободным членом линейного д.у. в ч.п.(2).

Линейное д.у. в ч.п. 2-го порядка может быть записано так :

, (3)

где – заданные в области функции, которые называются коэффициентами уравнения, – заданная в области функция и называется свободным членом и правой частью уравнения (3).