Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций , определенных на некотором множестве точек -мерного пространства. Они могут принимать значения . Можно считать также, что - комплексные точки , пробегающие некоторое множество точек комплексной плоскости, и тогда - функции комплексной переменной .

Пусть для каждого значения последовательность стремится к числу (функции от ).

По определению последовательность сходится (стремится) к равномерно на , если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел (не зависящих от ) такая, что

. (1)

Это определение эквивалентно следующему: для любого найдется такое, что при

.

В самом деле, если выполнено первое определение, то для любого найдется такое, что

,

т. е.

. (2)

Обратно, по второму определению для любого найдется так, что выполняется (2). Но тогда

. (3)

Мы видим, что неотрицательные числа не зависят от и , т. е. выполняется первое определение.

В первом определении в качестве можно взять точную верхнюю грань

.

Если она стремится к нулю при , то стремится к равномерно на , если не стремится, то не равномерно.

Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность равномерно сходится на , если для любого найдется такое , что выполняется неравенство

(4)

при любых и и для всех .

Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого найдется такое , что для и любых выполняется неравенство

,

т. е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции . Зададим теперь и подберем так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), где фиксировано, перейдем к пределу при ; в результате получим

.

И так как можно взять любым, то мы получим второе определение.

Изобразим в прямоугольной системе координат график функции (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке . Зададим и определим -полоску толщиной , окружающую график. Произвольная точка -полоски с абсциссой имеет ординату , удовлетворяющую неравенствам

.

13.Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1.1) где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

(1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

14.Ряды Тейлора.

Ряд Тейлора.Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z₀∈ D. Обозначим L окружность с центром в z₀, принадлежащую области Dвместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как | z – z₀| < | t – z₀| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак, .
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z₀ ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z₀)ⁿ. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z₀| < r, где r - расстояние от z₀ до границы области D (до ближайшей к z₀ точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.

15.Теорема. Ряд Лорана.

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z₀| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z₀| < | t – z₀| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на L_ρ | t – z₀| < | z – z₀| : .

16.Особые точки. Нули аналитической функции.