Уравнение телеграфистов. Синусоидальный сигнал

Главным условием выполнения квазистационарности тока, кроме замкнутости цепи является медленность изменения тока по сравнению со скоростью распространения электромагнитного возмущения по цепи, т. е. длина волны распространяющегося электромагнитного колебания должна быть много больше общей длины цепи. В этом случае токи во всех сечениях неразветвленных участков цепи одинаковы, для анализа цепи можно использовать законы Ома и Кирхгофа и, кроме того, можно считать некоторые распределенные параметры в эквивалентной схеме локально сосредоточенными, например, активные сопротивления, индуктивности даже при их совместном распределении.

.

Однако часто встречаются длинные цепи передач сигналов (сотни километров) или линии не очень длинные, но служащие для передачи сигналов высокой частоты. В этих цепях мгновенные значения тока в различных точках цепи различны, здесь нельзя применять законы Ома и Кирхгофа, нельзя считать распределенные параметры сосредоточенными в одном месте, кроме того, здесь становится существенной и распределенная емкость отдельных элементов цепи друг к другу. Непосредственное применение уравнений Максвелла представляет сложную задачу и выполнимо лишь в отдельных частных случаях.

В качестве примера рассмотрим коаксиальный кабель, подключенный к источнику синусоидального сигнала

Вследствие симметрии задачи токи текут вдоль оси z, при пренебрежении сопротивлением проводников , и остается одна составляющая электрического поля Магнитное поле имеет одну составляющую

Уравнения Максвелла (1)

(2)

При заданной симметрии Тогда

(3)

(4)

Беря производные по z и заменяя потом первые производные с помощью соседних уравнений, получим уравнение только для Е и В.

с решением:

(5)

(6)

где Таким образом, получаем прямую и обратную волны, распространяющующиеся по z со скоростью

Согласно закону полного тока или Т. о. волнам электромагнитного поля соответствуют волны электрического тока в проводнике.

При учете активного сопротивления проводников анализ на основании уравнений Максвелла существенно усложняется, в результате амплитуды бегущих волн будут затухать: где - константа, определяемая радиусами и материалом проводников, а также зависящая от частоты из-за скин-эффекта. Фазовая скорость волны с увеличением сопротивления начнет несколько снижаться. При малой толщине скин-слоя .

В случае более сложной цепи (двухпроводная, некоаксиальная линии) задача на основании уравнения Максвелла точно не решается.

Поэтому в электротехнике быстрых токов прибегают к упрощению.

Распределенную линию разбивают на участки dz, меньшие длины волны, и для таких участков применяют теорию квазистационарных токов, т.е. вводят сосредоточенные ,

где - распределенные параметры на единицу длины, и записывают для такого элемента законы Ома и Кирхгофа:

. (7)

С другой стороны ;

, (8)

т. к. часть тока ответвляется на емкость .

(9)

. (10)

Условие применения принятого приближения кроме - малое расстояние между проводниками , чтобы не влияла взаимная индуктивность и емкость соседних элементов.

Дифференцируя (9) по и подставляя из (10), получим:

Наоборот, дифференцируя (9) по , а (10) по dz, получим Это и есть уравнения телеграфистов.

Рассмотрим синусоидальный сигнал

Общее решение линейного уравнения . Имеем прямую и обратную распространяющие волны.

Положим

отсюда

;

Тогда т. е. a - коэффициент затухания, k -волновой вектор, фазовая скорость волны При малых потерях на длине волны ,

- характеристическое сопротивление линии,

Пример коаксиального кабеля:

С - скорость света.

т. е. получаем, как и в точном решении, через уравнения Максвелла.