Найдем спектр квадрата функции s(t).
- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.
В частном случае ( ) будем иметь:
. Переходя от к и т. к. , комплексное сопряженние .
- равенство Парсеваля.
- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала.
Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:
- при симметричной
Примеры. Спектр Гауссова (колокольного) импульса
, -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606.
.
Произведем преобразование в показателях степени:
где d - определяется из условия:
откуда
.
При d - конечном т. к. .
Тогда т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: .
Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим при среднеквадратичном их определении.
Спектр d-функции
.
В качестве d-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.