Свойства преобразования Фурье

а) Сдвиг сигнала во времени s₂(t)=s₁(t-t₀).

Сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀ приводит к сдвигу фазы спектра на±wt₀. Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.

б) Сжатие и расширение сигнала s₂(t)=s₁(nt).

При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что где

.

В реальности это проявление принципа неопределенности: При при несреднеквадратичном определении и .

в) Дифференцирование и интегрирование сигнала

Аналогично спектральная плотность интегра ла равна

г) Сложение сигналов (линейность преобразования)

- из-за линейности операции интегрирования.

д) Спектр произведения двух функций

Изменяем порядок интегрирования:

Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем ).

Аналогично можно показать, что свертке двух функций соответствует спектр

являющийся произведением исходных спектров.

е) Взаимная обратимость s(t) и .

;

Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для можно поменять знак в экспоненте Тогда, если по функциональной зависимости то