Интегрирование квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл вида

, (11.1)

где – рациональная функция переменных . Выделяя под корнем полный квадрат трехчлена и делая соответствующую линейную замену, интеграл вида (8.1) всегда можно свести к одному из интегралов

.

Для каждого из полученных интегралов существуют так называемые тригонометрические подстановки, позволяющие свести их к интегралам от тригонометрических функций.

Для интеграла

(11.2)

удобна подстановка . Тогда , . В результате этой подстановки получается в общем случае интеграл, подынтегральная функция которого содержит синусы и косинусы. Для его нахождения можно воспользоваться результатами предыдущих параграфов. Найдя интеграл, необходимо перейти от переменной к переменной , если учесть, что . Заметим, что здесь подойдет также подстановка .

Для вычисления интеграла

(11.3)

удобно применить подстановку ( ). Тогда ,

. Здесь интеграл (11.3) также преобразуется в интеграл от тригонометрических функций.

Для вычисления интеграла

(11.4)

применяется подстановка . Тогда , .

Интеграл (11.4) преобразуется в интеграл от тригонометрических функций.

Следует заметить, что после вычисления интеграла по переменной всегда необходимо вернуться к старой переменной , для чего применяются формулы, выражающие тригонометрические функции через переменную и соответствующие выражения , , .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Исходный интеграл относится к интегралам вида (11.2). Используем подстановку ( ). Тогда

Пример 2. Вычислить .

Решение: Этот интеграл относится к интегралам вида (11.3), так как содержит радикал . Сделаем подстановку . Имеем

Вернемся к переменной . Учитывая, что , получим . Далее так как , то . В итоге

.

В некоторых случаях интегралы (11.1) от иррациональных функций при помощи специальных подстановок сводятся к интегралам от рациональных функций (см. таблица 11.1).

Таблица 11.1.

Тип интеграла	Способ интегрирования
1.	,	Подстановка Эйлера
2.	,	Подстановка Эйлера
3.	,	Подстановка Эйлера или