Частные тригонометрические подстановки

В некоторых случаях подстановка приводит к сложным вычислениям интеграла от рациональной функции (знаменатель полученной дроби трудно разложить на множители). Тогда предпочтительнее использовать некоторые частные подстановки. Выбор подстановки зависит от структуры подынтегральной функции . При этом:

1)если функция – нечетная относительно переменной (то есть синуса): , то предпочтительнее подстановка ;

2)если функция – нечетная относительно переменной (то есть косинуса): , то предпочтительнее подстановка ;

3)если функция – четная относительно совокупности своих переменных , : , то предпочтительнее подстановка .

Пример 1. Вычислить .

Решение: Подынтегральная функция – нечетная относительно переменной (относительно синуса). Примем . Тогда , . Исходный интеграл примет вид

Рассмотрим интеграл Возникают случаи:

а) если хотя бы одно из чисел или - нечетное число; пусть то

,

получили интеграл от рациональной функции;

б) если и - неотрицательные четные числа ( ). Используя формулы понижения степени , получим

после преобразований получим интегралы вида

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Имеем случай б. Применяем формулы понижения степени

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. В данном случае подынтегральная функция четная относительно совокупности своих переменных , : . Предпочтительнее применить подстановку . Имеем

=

Для вычисления интегралов вида

применяем соответственно формулы преобразований произведения функций косинуса и синуса в сумму:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Имеем