Рассмотрим неопределенный интеграл вида
, (9.1)
где – рациональная функция своих переменных . Интеграл (9.1) с помощью универсальной тригонометрической подстановки преобразуется в интеграл от рациональной функции одного переменного . Используя формулы
, , , , (9.2)
получим
. (9.3)
Пример 1. Вычислить .
Решение: Применяя подстановку , и учитывая формулы (9.2), получим
C помощью универсальной тригонометрической подстановки легко вычисляются интегралы вида .
Пример 2. Вычислить .
Решение: Применяя подстановку , и учитывая формулы (9.2), получим
Последний интеграл является интегралом от правильной рациональной дроби. Раскладывая подынтегральную функцию на простейшие дроби, и применяя метод неопределенных коэффициентов, получим
Окончательно , где .