Метод непосредственного интегрирования функций

Приведем таблицу основных (элементарных) неопределенных интегралов.

№	Интеграл	№	Интеграл
T1		T2
T3		T4
T5		T6
T7		T8
T9		T10
T11		T12
T13		T14
T15		T16
T17

Для доказательства табличных интегралов используем равенство (1.2). Чтобы проверить справедливость табличного интеграла достаточно продифференцировать правую часть и показать, что найденная производная совпадает с подынтегральной функцией .

Рассмотрим, например, табличный интеграл Т14. Пусть ,

. Очевидно, что

.

Рекомендуем проверить справедливость остальных табличных интегралов (в особенности в Т15 – Т17). После вычисления неопределенного интеграла советуем делать проверку путем дифференцирования (использовать равенство (1.2)). На свойствах неопределенного интеграла и таблицы интегралов основан метод непосредственного интегрирования (метод подведения под табличные интегралы).

Пример 1. Вычислить .

Решение. Используем сначала свойства 4), 5), а затем табличные интегралы (подписываем под интегралом соответствующий номер в таблице):

( ).

Пример 2. Вычислить .

Решение. Учитывая, что , , получим

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеем .

К первому интегралу применяем табличный интеграл и свойство 6), : .

Ко второму интегралу применим табличный интеграл и свойство 6), :

.

К третьему интегралу применим табличный интеграл и свойство 6), :

.

В результате получим .

Пример 4. Вычислить .

Решение. Имеем .

К первому интегралу применим табличный интеграл :

.

Второй интеграл сначала преобразуем, вынеся коэффициент 9 (при ) из-под корня, а затем применим табличный интеграл :

.

В итоге .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Имеем . К первому интегралу применим табличный интеграл : .

Второй интеграл сначала преобразуем, вынеся коэффициент 4 (при )

из-под корня, а затем применим табличный интеграл :

.

В итоге .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Имеем

.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Имеем