Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке Х и имеет там конечную производную (х). Тогда dy= (х)dx (1)

dy – функция от х, определенная в промежутке Х.

Второй дифференциал (дифференциал 2-го порядка) d²yфункции у=f(x) определяется как дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

d²y=d(dy)

Если дифференциал d^n-1y порядка (n-1) функции у=f(x) уже определен, то дифференциал dⁿyпорядка n функции у=f(x) равен:

dⁿy=d(d^n-1y)

Для вычисления дифференциалов высшего порядка, рассмотрим случай, когда аргумент х является независимой переменной. В этом случае dх=Dх, т.е dх совпадает с произвольным приращением независимой переменной, а значит, dх не зависит от х и, следовательно, при дифференцировании по х величину dх следует рассматривать как постоянное число. Получаем:

d²y=d(dу)=d( (х)× dх)= = (dx)² (2)

d³y=d(d²у)=d( (х)× (dх)²)= = (dx)³ (3)

Допусти, что dⁿy= (dx)ⁿ

Тогда dⁿ⁺¹y=d(dⁿу)=d( (х)× (dх)ⁿ)= = (dx)ⁿ⁺¹

Следовательно, справедлива формула:

(4)

Т.о., если аргумент х является независимой переменной, n-я производная функции у=f(x) в точке хÎХ равна отношению дифференциала n-го порядка этой функции в точке х, к n-й степени дифференциала аргумента.

Если аргумент х сам является функцией х=φ(t) некоторой переменной t. В этом случае y=f(φ(t)), где t – независимая переменная, а х – промежуточная переменная.

По свойству инвариантности формы дифференциала 1-го порядка сложной функции в этом случае будет:

dy= (х)dx

Только в этом случае dx уже нельзя рассматривать как постоянное число, т.к.

dx=

Здесь уже 2-й дифференциал d²х вообще говоря не равен нулю и определяется как d²х=

Используя правило вычисления дифференциала от произведения двух функций, будем иметь:

d²y=d(dу)=d( (х)× dх)= Þ

Þ d²y= (dx)²+ (x)×d²x (5)

d³y=d(d²у)=d( (dx)²+ (x)×d²x)= = = (dx)³+2 (x)dx×d²x+ (x)dx×d²x+ (x)×d³x Þ

Þ d²y= (dx)³+3 (x)dx×d²x+ (x)×d³x (6)

Сравнив формулы (5) и (6) с формулами (2) и (3) (когда переменная х была независимой), замечаем, что свойство инвариантности формы для дифференциалов сложной функции порядка n (n³2) в общем случае не имеет места.