Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.

Теорема.(б/д)Пусть функции u(x) и v(x) в некотором промежутке Х имеют конечные производные всех порядков до n включительно. Тогда функция у(х)=u(x)×v(x) имеет в промежутке Х конечные производные всех порядков до n включительно, причем , m=1,2,…,n

(Доказывается, аналогично выводу формулы ).

Пример. у=х²е^х. Вычислить у⁽¹⁰⁰⁾. Здесь u(x)=е^х, v(x)= х².

у⁽¹⁰⁰⁾=(е^х×х²)⁽¹⁰⁰⁾=

=(е^х)⁽¹⁰⁰⁾×х²+100×(е^х)⁽⁹⁹⁾× + ×(е^х)⁽⁹⁸⁾× +0= е^х×х²+200е^х×х+9900 е^х.