Рассмотрим сложную функцию у=f(j(x)).
Пусть даны функции f и φ: 
. Т.е. функция y=f(u) определена в промежутке U, а функция u=j(х) определена в промежутке Х и если хÎХ, то j(х)ÎU. Тогда для хÎХ имеет смысл выражение у=f(j(x)) – сложная функция.
Пусть функция u=j(x) имеет конечную производную 
на промежутке Х, а функция у=f(u) имеет конечную производную 
на промежутке U.
Т.к. у=f(j(x)) – функция независимой переменной х, определенная на промежутке Х, то, по определению дифференциала:
dy= 
dx (*)
По правилу дифференцирования сложной функции
= 
Подставляя это выражение для в соотношение (*), получим:
dy= 
dx
По определению дифференциала: du= 
dx
Окончательно получаем: dy= 
du (**)
Сравнивая соотношения (*) и (**) заметим, что дифференциал сложной функции у=f(j(x)) через промежуточную переменную u выражается в той же форме, как и через независимую переменную х.
В этом состоит свойство инвариантности (неизменяемости) формы дифференциала.
Пример. у= 
, xÎ(-1,1) 
.
Положим х=sin t, tÎ 
. Тогда у= 
.
Тогда dx=cos t×dt, dy=-sin t×dt
- получили лишь другое выражение для вычисленной выше производной.
