Дифференциал функции.

Подход к дифференциальному исчислению связан с аппроксимацией (приближением) функций.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀ÎХ. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхÎХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению Dх аргумента.

Если функция f(x) имеет в точке х₀ конечную производную , то приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

где α(Dx)→0 при Dx→0.

Если ≠0, то первое слагаемое в формуле (1) пропорционально величине Dх или линейно зависит от Dх.

Т.к. в этом случае ≠0, то слагаемое ×Dх является при Dx→0 бесконечно малой того же порядка, что и Dх.

Второе слагаемое a(Dх)×Dх правой части (1) при Dx→0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dх, т.к.

Определение. Дифференциалом функции у=f(х) в точке х₀называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение Dх аргумента:

dy= ×Dx (2)

Пример. Найти дифференциал функции у=х.

dy=dx=(x)¢×Dx=Dx.

Т.о. полагают, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т.е. dx=Dx. (это своего рода соглашение).

Тогда вместо равенства (2) можно записать dy= ×dx (3) или

= (4)

Рассмотрим формулу Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх (1)

Если ≠0, т.е. dy≠0 при Dх≠0, то

Þ =1/

Значит в случае, когда ≠0, приращение функции Dу и ее дифференциал dy оказываются эквивалентными бесконечно малыми при Dх®0. Поэтому в этом случае верно приближенное равенство: Dу»dy (5)

Приближенное равенство (5) тем точнее, чем меньше Dх.

Формулой (5) пользуются в приближенных вычислениях, т.к. структура дифференциала функции dy проще структуры ее приращения Dу.

Пример. у=х³.

Dу=(х+Dх)³-х³=3х²×Dх+3х×(Dх)²+(Dх)³, а dy=3х² Dх

Если взять х=2, Dх=0,01, то Dу=3×4×0,01+3×2×0,0001+0,000001=0,120601, а dy=3×4 0,01=0,12. Т.о. абсолютная ошибка údy-Dуú=0,000601, относительная ошибка