Производная обратной функции.

Если у=f(х) – взаимно однозначное отображение, т.е. является инъекцией ( х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂)) и сюръекцией (отображение «на») (f(A)=B или такое, что y=f(x)). (f:X→Y; φ= f^-1:Y→X)

Можно определить новую функцию: f^-1:B→A, x=f^-1(y)–обратная функция, относительно f.

Пусть функцияу=f(x) определена в промежутке áa,bñ и является там строго монотонной и непрерывной. Тогда у функции у=f(x) существует обратная функция х=j(у), определенная в промежутке áp,qñ, причем эта функция в промежутке áp,qñ также строго монотонна и непрерывна. (áp,qñ - множество значений, принимаемых функцией у=f(x) на промежутке áa,bñ).

Теорема. Пусть 1) функцияу=f(x) определена в промежутке áa,bñ и является там строго монотонной и непрерывной; 2)функцияу=f(x) имеет конечную ненулевую производную в точке х₀Îáa,bñ. Тогда обратная функция х=j(у)=f^-1(у) также имеет производную в соответствующей точке у₀=f(x₀)Îáp,qñ и справедлива формула: . или

Если у=f(x) имеет ненулевую производную в каждой точке, то или

Доказательство. По условию 0.

Придадим у₀ приращение Dу≠0 такое, что точка у₀+DуÎáp,qñ.

Тогда функция х=j(у) получит приращение Dх=j(у₀+Dу)-j(у₀).

В силу строгой монотонности функции х=j(у) Dх≠0, если Dу≠0.

В силу непрерывности функции х=j(у) Dх®0, если Dу®0.

Имеем очевидное равенство . Перейдем в этом равенстве к пределу при Dу®0. Получим:

Т.к. по условию . Тогда существует и . Ч.т.д.

Геометрический смысл формулы . Если является тангенсом угла α наклона касательной к кривой у=f(x) к оси Ох, то - тангенс угла наклона β той же касательной к оси Оу.