Производная сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Т.е. функция y=f(u) определена в промежутке U, а функция u=j(х) определена в промежутке Х и если хÎХ, то j(х)ÎU. Тогда для хÎХ имеет смысл выражение F(x)=f(j(x)) – сложная функция.

Теорема. Пусть 1) функция u=j(x) имеет в некоторой точке х₀ производную , 2) функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u₀=j(x₀) производную . Тогда сложная функция y=f(j(x)) так же имеет производную в точке х₀ и она равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.

Доказательство. Придадим х₀ произвольное приращение Dх≠0 и х₀+DхÎХ. Тогда функция u=j(х) получит приращение Du=j(х₀+Dх)-j(х₀).

Т.к. y=f(u), то приращению Du соответствует приращение Dy=f(u₀+Du)-f(u₀).

По формуле приращения функции (**)Dy=[ +a(Du)]×Du,

где a(Du)→0, при Du→0. Тогда =[ +a(Du)]×

Пусть Dх®0. Тогда, т.к. функция u=j(х) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в точке х₀ и, следовательно, Du®0. Поэтому и a(Du)→0, при Dх→0. Получаем

Т.е. существует и ч.т.д.

Пример.(Вводим цепочку вспомогательных функций)

1)

2) у=sin lnx 3)y=

Пример. Дифференцирование степенной функции.

Покажем, что

х^α= =e^αlnx

= e^αlnx =x^α·α· =αx^α-1 ч.т.д.

Производная степенно-показательной функции у=f(x)^g(x).

Рассмотрим логарифмическую производную, т.е. производную логарифмической функции: (относительная скорость изменения функции или темп изменения функции).

Тогда ln y=g(x)lnf(x). Дифференцируя, получим

.

Т.к. у=f(x)^g(x), получаем

Т.е. для того, чтобы найти производную степенно-показательной функции надо сначала дифференцировать ее как степенную, а потом как показательную функцию и полученные результаты сложить.

Пример.Найти производную функции у=х^х.