Пусть функции U=U(x), V=V(x) дифференцируемы в точке х0, тогда функции U±V, UV, CU, U/V также дифференцируемы в этой точке и справедливы равенства:
1. 
=0, где С=const
2. 
3. 
4. 
(V≠0) 
Доказательство. 2)Дадим х приращение Dх. Тогда функции u(x) и v(x) получат соответственно приращения Du и Dv, их новыми значениями будут u(x)+Du и v(x)+Dv (т.к.
Du=u(x+Dx)-u(x), Dv=v(x+Dx)-v(x))
Пусть y=u±v, тогда
Dy=[(u(x)+Du)±(v(x)+Dv)]-[u(x)±v(x)]=u(x)+Du±v(x)±Dv-u(x) 
v(x)=Du±Dv
3.Приращение функции у=UV:
у+∆у=(u(x)+∆u)(v(x)+∆v)-uv=u(x)v(x)+∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v-u(x)v(x)=
=∆uv(x)+u(x)∆v+∆u∆v
Рассмотрим отношение приращений функции и аргумента:
= 
Т.к. функция u=u(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна, следовательно 
, т.е. 
=0.
(или 
=0)
Т.о. 
= 
ч.т.д.
Доказательство 4. Представим функцию у= 
в виде у=u 
и сведем к предыдущему случаю.
= 
=- 
= 
Тогда 
ч.т.д.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
Таблица производных.
1. С¢=0 (С=const)
2. 
=nxn-1 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Пример.Вывод производной функции у=tg x и у=ctg x, используя правило 4.
