Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в некоторой точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть у=f(x) дифференцируема в точке х0, тогда ее приращение в этой точке представимо в виде: Δу=А×Dх+a(Δх)×Dх,
Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а a - функция аргумента Δх такая, что a(Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).
Следовательно, 
=0+0=0.
Т.е. бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции. А это означает, что функция у=f(x) непрерывна в точке х0.(по эквивалентному определению непрерывности). Ч.т.д.
Замечание.Обратное утверждение неверно. Так, например, функция у= 
является непрерывной в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. при
при x>0 f(x)=x, 
=1,
при x<0 f(x)=-x, 
=-1.
График.Показать, что нет касательной в т х=0.
