Дифференцируемые функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀ÎХ. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхÎХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции.

Определение.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу=А×Dх+a×Dх (1)

Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а a - функция аргумента Δх такая, что a(Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).

В точке Δх=0 функция a(Δх) может принимать любое значение. Для определенности можно, например, положить a(0)=0.

Пример.f(x)=х².

f(х₀+Δх)-f(х₀)=(х₀+Δх)²-х₀²=2х₀Dх+(Dх)²

А=2х₀, a(Δх)=(Dх)²→0 при Δх→0

d(f(x₀))=2x₀.

Теорема. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀. Докажем, что существует конечная производная .

Т.к. y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то приращение Dу этой функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента Dх, можно представить в виде:

Δу=А×Dх+a×Dх, где a(Δх)→0 при Δх→0. Предположим, что Dх≠0 и разделим обе части равенства на Dх: =А+a(Dх)

Переходя к пределу при Δх→0, находим =А.

А это и означает, что существует конечная , причем =А.

Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет в точке х₀ конечную производную. Покажем, что f(x) дифференцируема в точке х₀.

Т.к. существует конечная = , то разность - - бесконечно малая функция при Δх→0.

Положим - =a(Dх), то =0. Следовательно, = +a(Dх), откуда Δу= ×Dх+a(Dх)×Dх, причем a(Dх)→0 при Dх→0.

Полученное выражение для Δу совпадает с представлением Δу=А×Dх+a×Dх, если обозначить через А не зависящее от Dх число . Т.о. доказали, что функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. ч.т.д.

Замечание.Из теоремы следует, что дифференцируемость функции у=f(x) в точке х₀ равносильна существованию в этой точке конечной производной .