Односторонние производные.

1) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой правосторонней окрестности этой точки u₊(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

2) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой левосторонней окрестности этой точки u_-(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

Об односторонних производных функции y=f(x) в точке х₀ можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности u(x₀) точки х₀ (т.е. f(x) определена одновременно и в u₊(x₀), и в u_-(x₀)).

Для функции y=f(x), определенной в u(x₀), справедливо следующее утверждение:

Для того, чтобы у функции f(x) в точке х₀ существовала обычная (т.е. двусторонняя) производная, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовали одновременно и , причем = (= ).

В случае, если у функции y=f(x) в точке х₀ существуют одновременно и , но ≠ , то обычной производной у функции y=f(x) в точке х₀ нет.

Пример.f(x)=êхê, х₀=0.

Dу=f(x₀+Dx)-f(x₀)=f(0+Dx)-f(0)=ê0+Dxê-ê0ê=êDxê

Если Dx>0, то Dу=Dx, следовательно .

Если Dx<0, то Dу=-Dx, следовательно .

≠ , значит обычной производной у функции f(x)=êхê в точке 0 нет.