Задача о скорости движения.Пусть некоторая материальная точка движется по прямой по закону S=S(t), где S – некоторый путь, t – время. Требуется найти скорость точки в данный момент t (мгновенную скорость).
Перейдем от момента t к моменту t+Δt. За промежуток времени от t до t+Δt точка М пройдет путь ΔS=f(t+Δt)-f(t).
Тогда за промежуток времени от t до t+Δt (т.е. за время Δt) средняя скорость будет Vср.= 
.
Если движение точки М не является равномерным, то Vср. будет изменяться при изменении Δt. При этом, чем меньше промежуток времени Δt, тем лучше Vср. характеризует движение точки в момент t. Поэтому скоростью точки в момент t является предел Vср. за промежуток от t до t+Δt , когда Δt→0, т.е.
V(t)= 
Т.о. получили механический смысл производной: производная пути по времени 
- скорость точки в момент t: V(t)= 
.
Если скорость движения v не постоянна и сама изменяется с течением времени t: v=f(t), то рассматривают ускорение – «скорость изменения скорости».
А именно, если приращению Dt отвечает приращение скорости Dv, то отношение
аср.= 
выразит среднее ускорение за промежуток времени Dt, а предел его даст ускорение движения в данный момент времени:
а= 
= 
= 
Т.о., ускорение является производной скорости от времени.
