Геометрический смысл производной.

Задача о касательной к кривой.Пусть на плоскости задана непрерывная кривая L, описываемая уравнением у=f(x). Требуется найти уравнение касательной к ней в точке М₀(х₀,у₀).

Определение. Касательной к кривойLв точке х₀ называется предельное положение секущей М₀М, проходящей через точку М₀ и некоторую другую точку М, лежащую на кривой L, когда точка М вдоль кривой произвольным образом стремиться к совпадению с точкой М₀, т.е. при Δх→0.

Дадим аргументу х₀ приращение Δх такое, что Dх≠0 и перейдем на кривой от точки М₀(х₀,f(x₀)) к точке М(х₀+Δx, f(x₀+Δx)) или М(х₀+Δx,у₀+Δу) (Dу=f(x₀+Δx)-f(x₀), у₀=f(x₀)) и проведем секущую М₀М. Она имеет уравнение

у-у₀=k(Dх)(x-x₀) (1)

Угловой коэффициент секущей М₀М можно найти из ∆ М₀МN:

=tgφ= (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении кривой L и при любом Расположении точки М относительно точки М₀ (справа или слева). При Dх→0 расстояние êМ₀Мê→0.

Действительно, в силу непрерывности функции f(x) в точке х₀ будет =0. Тогда êМ₀Мê= →0 при Dх→0 и точка М по кривой будет стремиться к совпадению с точкой М₀, секущая М₀М будет стремиться принять свое предельное положение М₀Т, tgj→tga, Dx→0

Тогда угловой коэффициент касательной

k= =

Т.о., если у функции f(x) в точке x₀, то уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М₀(х₀,у₀) будет иметь вид:

у-у₀= (x-x₀) или у-f(x₀)= (x-x₀)

Т.о. получили геометрический смысл производной: производная - угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f(x) в точке х₀, т.е. k= .

Если у функции у=f(x) в точке х₀ существует бесконечная производная, т.е.

=¥, то в силу равенства =tgφ= , =¥.

Запишем уравнение секущей М₀М у-у₀=k(Dх)(x-x₀) в виде:

Переходя в этом соотношении к пределу при Dх→0, получим: х-х₀=0Þх=х₀ (4)

(4) -уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке М₀ в случае, когда =¥. Прямая х=х₀ – вертикальная касательная к графику функции у=f(x) в точке М₀.