Производная.

Дифференциальное исчисление.

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀.

Дадим значению аргумента х₀ приращение ∆х=х-х₀ такое, что Dх≠0 и точка х=х₀+DхÎV(x₀). Тогда функция получит приращение

Dу=f(x)-f(x₀) или Dу=f(х₀+Dх)-f(x₀) – приращение функции.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приближении точки х к х₀.

Определение.Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, то этот предел называется производной функции в точке х₀:

(1)

Или (2)

Обозначения: , , , .

Если предел конечен, то производная называется конечной, если он бесконечен, то производная называется бесконечной. Процесс вычисления производных функций называется дифференцированием; точка х₀, в которой вычисляется производная, называется точкой дифференцирования.

Пример. Найдем по определению производную функций:

1) f(x)=С, f¢(x)=0.

2) f(x)=cos x

= = =

= =-2sin x₀· =-sin x₀. Т.о.

3) f(x)=sin x

= = =

= =-2× cos x₀= cos x₀.

4) f(x)=xⁿ (nÎN)

1. Случай n=1.

f(x)=x =

2. n=2,3,…

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

=

= → при Dх→0,

(xⁿ)¢=nx^n-1.

5) f(x)=a^x

= = =

Введем замену, t=a^∆x-1→0 при ∆х→0. Тогда а^∆х=t+1; ∆x=log_a(t+1)=

Получаем: = = = =

= = =

Т.о. в частности,

6) f(x)=log_ax

= =

В силу непрерывности функции f(x)=log_ax f(x)=log_ax имеем

Т.о.

1) f(x)=sign x=

В точке х₀=0 нет производной

f(0+Dx)-f(0)=

= - нет предела при Dх→0

2) f(x)=êхê-в точке х₀=0 нет производной (в положительной полуплоскости f¢(x)=х, в отрицательной - f¢(x)=-х). (График)

f(0+Dx)-f(0)= , , Þ нет предела при Dх→0