Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы).

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве ММ дифференциальные уравнения.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются — уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

(7).

Например, процесс малых колебаний маятника описан обыкновенными дифференциальным уравнением где m₁, l₁ - масса, длина подвески маятника, - угол отклонения маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например период колебаний

Диф. уравнения, Д - схемы являются математическим аппаратом теории систем автоматического регулирования, управления.

При проектировании и эксплуатации систем САУ необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Следует отметить, что часто используемые в САУ системы диф. уравнений определяются путём линеаризации управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:

В качестве примера D-схемы рассмотриммодель Лотки – Вольтерры системы «хищник-жертва»,которая имеет вид:

,

где y₁ – количество жертв,

y₂ – количество хищников,

t – время,

a, b, c, g – коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами:

a – коэффициент рождаемости жертв,

g – коэффициент рождаемости хищников,

c – коэффициент убыли хищников,

b – коэффициент гибели жертв при встрече с хищником.

Точка покоя (нетривиальная):

Управляемая система Лотки-Вольтерра имеет вид:

Линеаризуем рассматриваемую систему:

- линеаризованная система

- положительно определенная матрица (диагональная для простоты), - неотрицательно определенная матрица (диагональная для простоты)

Построим функционал Лагранжа

- оптимальное решение

, - произвольные функции

Возьмем по частям интеграл:

Тогда