русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем


Дата добавления: 2013-12-23; просмотров: 1665; Нарушение авторских прав


Принцип максимума определяет необходимые условия оптимальности управления в нелинейных управляющих системах. Он распространен и на случаи, когда на координаты состояния системы накладываются ограничения. Рассмотрим основную теорему принципа максимума и дадим более удобную формулировку оптимального управления.

Пусть оптимальное управление описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

(1)

или в векторной форме:

Здесь:

- -мерный вектор состояния объекта

- -мерный вектор управляющих воздействий

- функция правой части уравнения (1)

Полагаем, что вектор управления принимает значения из некоторой замкнутой области U r-мерного пространства управлений. Положим, что функции непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные производны по переменным состояния . Назовем допустимыми управлениями те управления , которые являются кусочно-непрерывными функциями времени и принимают значения из множества U.

Основная задача оптимального управления формулируется следующим образом: среди всех допустимых управления, приводящих изображающую точку в фазовом пространстве X из начального положения в конечное , если эти управления существуют. И нужно найти такие управления, для которых функционал:

(2)

достигает минимума.

Введем новую переменную , которая определяется следующим дифференциальным уравнениям:

(3)

Здесь - подынтегральная функция функционала (2).

Присоединив уравнение (3) к системе уравнений (1), получим:

(4)

Запишем (4) в векторной форме. Для этого введем в рассмотрение (n+1)-ый вектор координат состояния: , тогда в векторной форме записи это уравнение запишется следующим образом:

(5)

Здесь:

вектор правых частей системы (5).

Заметим, что вектор-функция не зависит от координаты вектора . Обозначим через точку с координатами в (n+1)-ом фазовом пространстве . Пусть - некоторое допустимое управления, для которого соответствующая фазовая траектория (1) проходит при через точку . А при выполнении равенства через точку .



Из уравнения (2) следует, что координата определяется равенством:

Если , то будем иметь:

Таким образом, в пространстве фазовая траектория системы (5), соответствующая тому же управлению , проходит при через точку , а при через точку . Это иллюстрирует следующий рисунок:

Обозначим через П прямую в пространстве , проходящую через точку и параллельную оси . Тогда основную задачу оптимально управления можно сформулировать следующим образом:

В (n+1)-мерном пространстве заданы начальная точка и прямая П, параллельная оси и проходящую через точку . Среди всех допустимых управлений, обладающих тем свойством, что решение системы (5) с начальными условиями проходит через точку прямой П, необходимо выбрать такое управления, для которого координата точки имело бы минимальное значение.

Сформулированная задача представляет собой задачу Майера на условный экстремум. Однако в силу ограничений, накладываемых на допустимое управление методами классического вариационного исчисления, эта задача не решается.

Формулировка теоремы, дающей необходимое условие экстремума:

Введем в рассмотрение вспомогательные переменные , которые удовлетворяют следующей системе уравнений:

(6)

Система (6) называется сопряженной по отношению к системе уравнений (5). Если выбрать некоторое допустимое управление на отрезке и найти соответствующее ему решение с заданными начальными условиями , то при подстановки в систему уравнений (6) управления и решения , получим линейную однородную систему уравнений:

(7)

Система (7) удовлетворяет условиям существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.
Системы уравнений (5) и (6) можно объединить одной формой записи, для этого надо ввести в рассмотрение функцию H:

(8)

Здесь:

Тогда системы (5) и (6) запишутся следующим образом:

(9)

 

(10)

Отметим, что вектор функций и непрерывны всюду, кроме точек разрыва допустимого управления . Эти вектор-функции имеют непрерывные производные. При фиксированных значениях и функция H становится функцией только управления .



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 3. Решение линейной двухточечной краевой задачи методом прогонки | Теорема 1


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Полезен материал? Поделись:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.002 сек.