Лекция 3. Решение линейной двухточечной краевой задачи методом прогонки

Идея метода прогонки содержится в самом соотношении:

Попытаемся перенести (прогнать) граничные условия к начальному моменту времени . В результате чего получим начальное значении , и затем, так как нам будет известно начальное состояние системы и значение , то можно выполнить интегрирование системы уравнений:

(1)

(2)

на интервале времени . То есть, решаем задачу Коши.

При интегрировании этой системы дифференциальных уравнений по формуле:

можно получить управление , которое доставляет минимум функционалу:

А теперь рассмотрим метод прогонки.

Полагаем, что векторы и связаны соотношением:

(3)

Здесь - квадратичная симметричная матрица размера , которое подлежит определению.

Продифференцируем уравнение (3) по времени:

(4)

Подставим уравнения (3) и (4) в (2) и получим:

(5)

Теперь (1) подставим в (5) и вновь учтем (3) и получим:

Или:

(6)

Здесь учтено свойство симметрии матриц. То есть если - симметричная матрица, то справедливо следующее соотношение:

Так как вектор , то из уравнения (6) следует:

(7)

Это матричное дифференциальное уравнение Риккати.

Чтобы проинтегрировать выражение (7), вычислим значение при . Для этого воспользуемся равенствами:

Приравняем правые части этих равенств:

Откуда следует:

(8)

Уравнение (7) можно проинтегрировать (прогнать) от конечного значения к начальному значению . Это так называемое интегрирование в обратном времени.

После этого с помощью уравнения:

вычислим начальное значение времени .

Теперь решение системы дифференциальных уравнений (1) и (2):

где начальные значения и заданы, может быть получено путем интегрирования в прямом времени. При выполнении интегрирования системы ДУ (1) и (2) с помощью формулы:

(9)

можно вычислить уравнение системы в каждый момент времени. Отметим, что это уравнение по принципу обратной связи. При этом коэффициенты обратной связи:

являются переменными, то есть зависят от времени.