Линейные системы. Квадратичный критерий качества процессов управления

Будем считать, что объект управления описывается системой дифференциальных уравнений:

(1)

Здесь:

X – n-мерный вектор состояния ОУ;

U – m-мерный вектор управляющих функций;

A – матрица размера (матрица динамики ОУ);

B – матрица (матрица коэффициентов передачи).

Управление динамическим объектом (1) должно быть таким, чтобы минимизировать критерий качества ОУ в функционал:

(2)

Здесь и не отрицательно определенные симметричные матрицы размера , которые удовлетворяют условиям:

Эти два неравенства должны выполняться для любого n-мерного вектора.

Далее, - положительно определенная матрица , то есть это симметричная матрица, которая удовлетворяет условию:

для любого m-мерного вектора .

Мы считаем, что - начальное значение и - конечное значение вектора состояния ОУ.

Вводим в рассмотрение вспомогательный функционал:

(3)

Теперь вводится в рассмотрение вспомогательная скалярная функция:

(4)

Вводим вспомогательную функцию, которая имеет название – гамильтониан. В этом случае функционал запишется:

(5)

Теперь рассмотрим интеграл: .

Берем интеграл по частям:

Теперь функционал (5) запишется в виде:

(6)

Теперь рассмотрим вариацию этого функционала, которая вызвана вариацией управляющей функции и вектора . При этом считаем, что если начальное значение времени фиксировано, то фиксировано также и конечное значение времени .

Выражение для вариации функционала:

(7)

Выберем вектортаким образом, чтобы коэффициенты при вариациях и были равны нулю. Тогда получаем уравнение для определения :

(8)

Граничные условия для системы уравнений (8):

(9)

Так как:

(10)

тогда в этом случае вариация функционала запишется:

(11)

Сделаем следующее замечание: вспомогательный функционал совпадает с исходным функционалом на решениях системы уравнений (1). Поэтому, если достигает минимума, то минимума достигает и функционал . Если достигает минимума, то его вариация должна быть равна нулю.

То есть должно выполняться условие:

(12)

Приведем сведения из линейной алгебры, которые мы будем использовать в дальнейшем:

На основании этих формул получаем следующее:

Чтобы найти вектор управляющих функций, которые доставляют экстремум функционалу (2) или критерию качества, нужно решить систему дифференциальных уравнений:

(13)

(14)

где управляющая функция определена из условия:

Транспонированный вектор управляющей функции определяется равенством:

Или:

(15)

Здесь следует отметить, что граничные условия для уравнений (13) и (14) разделены. Одно из них задано на левом конце траектории , другое задано на правом конце .

Теперь, с учетом этого, запишем следующие дифференциальные уравнения, которые определяют оптимальное управление:

(16)

(17)

где заданы граничные условия:

и (18)

Это так называемая двухточечная краевая задача.