Теорема 1

Задача Лагранжа

Лекция 2. Синтез оптимальных систем с помощью вариационного исчисления.

Эта задача на условный экстремум, и нас будет интересовать случай, когда условия представляют собой систему дифференциальных уравнений.

Имеется функционал:

(1)

При этом допустимые кривые , среди которых ищется экстремум функционала, должны удовлетворять граничным условиям:

(2)

И условиям вида:

(3)

При этом . Мы предполагаем, что условия (3) являются независимыми, а это значит, что для всех , которые удовлетворяют условиям (3), справедливо:

Таким образом, функционал (1) рассматривается не на всех допустимых кривых, удовлетворяющих граничным условиям (2), а только на тех кривых, которые удовлетворяют системе уравнений (3). Важно, чтобы условия (2) и (3) были согласованными, то есть начальные и конечные точки должны удовлетворять - мерному многообразию, которая задается системой уравнений (3).

Следует отметить, что граничные условия можно задать следующим образом:

А недостающее условие определяется из уравнений связи (3).

Это задача на условный экстремум называется задачей Лагранжа с голономными связями .

Введем в рассмотрение новый функционал:

(4)

Здесь - функции, подлежащие определению.

Относительно функционала (4) решается задача на безусловный экстремум, причем подлежат определению функции и . Система уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала (4) принимает вид:

(5)

Система (5) состоит из уравнений, которые совпадают с числом искомых функций и . Общее решение системы (5) содержит произвольных постоянных, для определения которых используются граничные условия (2).

Если кривая доставляет безусловный экстремум функционалу (4), то на ней достигается и условный экстремум функционала (1). В самом деле, если на кривой достигается безусловный экстремум функционала (4), то эта кривая доставляет экстремум функционалу (5).

Тогда , и если кривая доставляет безусловный экстремум функционалу , то, в частности, она будет доставлять экстремум и в более узком классе кривых, удовлетворяющих уравнениям связи.

Докажем следующую теорему:

Если функция доставляет экстремум функционалу (1) и удовлетворяет условиям связи (3), то существуют такие множители , что функция удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала (4).