Планирование эксперимента

Пассивный и активный эксперимент. Метод наименьших квадратов позволяет получить описание объекта по любым данным, лишь бы матрица системы нормальных уравнений была невырожденной. Поэтому с появлением ЭВМ возникла идея — получать математические описания технологических процессов, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса.

В реальных условиях технологический процесс все время испытывает случайные колебания режима. Сегодня значения контроли­руемых факторов—несколько иные, чем вчера, а завтра будут еще немного другими. Нельзя ли каждое изменение режима рассматри­вать как эксперимент, и, обработав совокупность таких «экспери­ментов» методом наименьших квадратов, получить описание про­цесса, а затем использовать это описание для управления и опти­мизации? Такой подход получил название пассивного экспе­римента. Достоинство пассивного эксперимента —отсутствие затрат на опыты: данные получаются «сами собой». Но надежды, возлагав­шиеся на этот метод, в большинстве случаев не оправдались.

Анализ неудач пассивного эксперимента выявил несколь­ко их причин.

· Во-первых, в нормальных условиях колебания режи­ма малы, опытные точки находятся близко одна к другой. Хорошо известно, что чем ближе опытные точки, тем сильнее влияют на описание случайные ошибки. Действительно, различия в получае­мых значениях отклика при этом малы, и эти малые различия пло­хо выделяются на фоне шума—случайных ошибок. Поэтому зна­чения коэффициентов регрессии оцениваются со значительными ошибками.

· Во-вторых, в пассивном эксперименте факторы сильно коррелированны. Это делает крайне ненадежным ана­лиз влияния отдельных факторов—всегда может оказаться, что влияет не данный фактор, а другой, с ним коррелированный.

· В-третьих, сами значения факторов в производственных усло­виях часто измеряются с заметными ошибками; поэтому применение метода наименьших квад­ратов в его обычном варианте становится некорректным.

В связи с этим в теории экспери­мента любой эксперимент, при планировании которого не учтено влияние плана эксперимента на статистические свойства получае­мых оценок, часто называют пассивным. Ему противопоставляют активный эксперимент, в основе которого лежит планирование эксперимента.

Планы экстремального эксперимента. Проектировщики наи­более широко пользуются планами так называемого экстремально­го эксперимента, разработанными для определения оптимальных условий протекания процессов в объектах исследования. Оптимум определяется по математической модели объекта исследования, которую ищут в виде полиномиального уравнения:

если объект характеризуется одной переменной состояния. Логи­ку появления полинома как математической модели объекта ис­следования можно объяснить следующим

образом. Исследователь полагает, что математическую модель объекта прин­ципиально можно представить дифференциальными уравнениями. В общем виде искомое решение можно пред­ставить функцией:

y= F (X,b), (2)

где у—переменная состояния объекта исследования; Х—матри­ца факторов; b — матрица коэффициентов. Коэффициенты b полинома можно интерпретировать как коэф­фициенты ряда Тейлора, в который «удается» разложить решение в окрестностях некоторой точки.

Пользуясь статистическими методами и учитывая конечность экспериментальных данных, можно получить оценки коэффи­циентов регрессии b- b в уравнении (1).

Уравнение (1)называют уравнением регрессии и широко используют для получения математиче­ской модели объекта исследования.