Прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы, Для этой цели проводят N серий из k параллельных опытов в рассматриваемой области изменения влияющих факторов. Результаты опытов заносятся в таблицу 1.
Таблица 1.
Номер
серии
опытов
Результаты параллельных опытов
yj,средн.
sj2
Y11
Y12
………..
Y1k
Y1средн
s12
Y21
Y22
………..
Y2k
Y2средн
s22
Y31
Y32
………..
Y3k
Y3средн
s32
J
Yj1
Yj2
………..
Yjk
Yjсредн
sj2
N
YN1
YN2
YNk
YNсредн.
SN2
1.Определяется среднее арифметическое значение функции отклика для любой серии опытов j (j=1,N):
, (3)
где k-количество опытов в j-той серии.
2.Оценивается дисперсия для каждой серии параллельных опытов:
. (4)
3.Определяется расчётное значение критерия Кохрена:
. (5)
4.По специальным таблицам определяют табличное значение Кохрена - GT. Они зависят от доверительной вероятности P(как правило P=0.95),от N и от f 1=k-1,
f 1 – количество степеней свободы в k-той серии опытов.
6. Определяется число степеней свободы эксперимента
f 2= N*(k-1) . (8)
Возможны два подхода к исследованию многофакторных систем. Первый можно описать формулой: «Изменяй факторы по одному». Исследование системы разбивается на серии, в пределах каждой из которых изменяется (варьируется) лишь один фактор, а остальные неизменны. В следующей серии изменяется второй фактор и т. д. Идея другого подхода— построить план эксперимента, предусматривающий изменение всех влияющих факторов, с тем, чтобы этот план обеспечивал максимум точности, минимум корреляции и другие хорошие статистические свойства. Такой эксперимент называют многофакторным.
Долгое время в науке господствовал первый подход. Его главное преимущество—наглядность: данные каждой серии легко поддаются интерпретации.
Во втором подходе при том же объеме эксперимента и той же точности опытов получается большая точность результатов.
Геометрическим образом совокупности независимых переменных х и зависимой переменной у является пространство n+1 измерения, где n—число независимых переменных; (n+1)-е измерение относится к у. В этом пространстве зависимости у от всех х соответствует n-мерная поверхность, которую обычно называют поверхностью отклика (результат опыта рассматривается как отклик системы на опыт—заданную совокупность независимых переменных, или входов). (Показать рисунок из книги).
План эксперимента указывает расположение опытных точек в n-мерном пространстве независимых переменных (факторном пространстве), или иными словами, условия всех опытов, которые следует провести. Чаще всего план эксперимента задается в виде матрицы планирования — прямоугольной таблицы, каждая строка которой отвечает условиям определенного опыта, а каждый столбец—значениям какой-то из независимых переменных в разных опытах.
Полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.
Матрица планирования. Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях: нижнем -1 и верхнем +1, соответствующих значениям кодированных переменных X1,X2,……Xn .
Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.
В таблице 2 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат.
Таблица 2.
Номер
опыта
Факторы
Функция
отклика
X1
X2
X3
-1
-1
-1
y1
+1
-1
-1
у2
-1
+1
-1
у3
+1
+1
-1
У4
-1
-1
+1
У5
+1
-1
+1
у6
-1
+1
+1
y7
+1
+1
+1
у8
Xi= (xi- xi0)/ |xi- xi0| ,
где xi= xi max+ xi min.
Каждый фактор принимает лишь два значения — варьируется на двух уровнях, верхнем и нижнем. Поэтому общее число экспериментов N=2 n
Пример. В четырех опытах исследуется влияние 3 факторов: температуры T,К, давления р, МПа, и времени t, с, на выход продукта.
Здесь в любом из опытов температура—либо 1000 К (нижний уровень), либо 1200 К (верхний уровень); аналогично варьируются р и t.Выбор центра плана и интервалов варьирования.:
Таблица 3.
Температура
Давление
Время
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Матрицу планирования эксперимента для этого случая может иметь вид:
Таблица 4.
№№
T
P
T
Из таблицы видны основные принципы построения матриц планирования полного факторного эксперимента:
Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:
(9)
где l - номер опыта; i—номер фактора,(l¹m) Свойство, выраженное последним
уравнением, называется ортогональностью матрицы.
Оно позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга . (10)
Расширенная матрица—это матрица, дополненная столбцами, учитывающими взаимодействия факторов. На практике, как правило, ограничиваются парными взаимодействиями.
Расчет коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов. Основное условие метода формулируется следующим образом: коэффициенты регрессии определяются на основании минимизации суммы квадратов отклонений между экспериментальными уэ, и рассчитанными по уравнению регрессии yр значениями функции отклика:
(11)
После определения коэффициентов регрессии определяем значимость этих коэффициентов. Все коэффициенты подразделяются на значимые и незначимые. Для определения значимости коэффициентов регрессии сравнивается погрешность вычисления коэффициента с погрешностью экспериментальных данных - , определяемой по формуле (7). Вычисляется доверительный интервал:
.
Здесь tT - табличное значение критерия Стьюдента, которое находится по числу степеней свободы и доверительной вероятности. Тогда значимость оценивают, сравнивая абсолютные значения коэффициента и доверительного интервала:
.
Если это условие выполнено, то i - коэффициент признаётся значимым.
Незначимые коэффициенты отбрасываются из уравнения регрессии, после чего записывается окончательный вид уравнения регрессии. Это уравнение проверяется на адекватность. Для этого вычисляется оценка дисперсии адекватности:
Здесь B- число значимых коэффициентов регрессии.
Вычисляют расчётное значение критерия Фишера:
По таблице находят табличное значение критерия Фишера. Оно зависит от доверительной вероятности P, числа степеней свободы
f2= N-B и f1= N*(k-1).
На основании этого делается вывод об адекватности или неадекватности уравнения регрессии. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:
FрFT.
Чем меньше B, тем больше N-B—в этом одна из главных целей, достигаемых при исключении незначимых членов. Если уравнение неадекватно, переходят к более сложной модели (например, повышают степень многочлена), для чего обычно требуется постановка добавочных опытов. Иногда можно обойтись без дополнительного эксперимента, если соответствующим образом преобразовать переменные у или х .
3. Классификация методов ОПТИМИЗАЦИИ
Возможны два подхода к решению задачи отыскания минимума функции многих переменных f(x) = f(x1, ..., хn) при отсутствии ограничений на диапазон изменения неизвестных. Первый подход лежит в основе косвенных методов оптимизации и сводит решение задачи оптимизации к решению системы нелинейных уравнений, являющихся следствием условий экстремума функции многих переменных. Как известно, эти условия определяют, что в точке экстремума х* все первые производные функции по независимым переменным равны нулю:
, i=1, …, n. (1)
Эти условия образуют систему п нелинейных уравнений, среди решений которой находятся точки минимума. Вектор f’(х), составленный из первых производных функции по каждой переменной, т.е.
, (2)
называют градиентом скалярной функции f(x). В точке минимума градиент равен нулю. Решение систем нелинейных уравнений - задача весьма сложная и трудоемкая. Вследствие этого на практике используют второй подход к минимизации функций, составляющий основу прямых методов. Суть их состоит в построении последовательности векторов х [0], х [1], …, х [n], таких, что f(х[0])> f(х [1])> f(х [n])>… В качестве начальной точки x[0] может быть выбрана произвольная точка, однако стремятся использовать всю имеющуюся информацию о поведении функции f(x), чтобы точка x[0] располагалась как можно ближе к точке минимума. Переход (итерация) от точки х [k] к точке х [k+1], k = 0, 1, 2, ..., состоит из двух этапов:
1. выбор направления движения из точки х [k];
2. определение шага вдоль этого направления.
Методы построения таких последовательностей часто называют методами спуска, так как осуществляется переход от больших значений функций к меньшим.
Математически методы спуска описываются соотношением
x[k+1] = x[k] + akp[k], k = 0, 1, 2, ...,
где p[k] - вектор, определяющий направление спуска; ak - длина шага. В координатной форме:
(4)
Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора двух параметров - направления спуска и длины шага вдоль этого направления. На практике применяются только методы, обладающие сходимостью. Они позволяют за конечное число шагов получить точку минимума или подойти к точке, достаточно близкой к точке минимума. Качество сходящихся итерационных методов оценивают по скорости сходимости. В методах спуска решение задачи теоретически получается за бесконечное число итераций. На практике вычисления прекращаются при выполнении некоторых
критериев (условий) останова итерационного процесса. Например, это может быть условие малости приращения аргумента
(5)
или функции
. (6)
Здесь k - номер итерации; ε, γ - заданные величины точности решения задачи. Методы поиска точки минимума называются детерминированными, если оба элемента перехода от х[k] к x[k+l] (направление движения и величина шага) выбираются однозначно по доступной в точке х [k] информации. Если же при переходе используется какой-либо случайный механизм, то алгоритм поиска называется случайным поиском минимума. Детерминированные алгоритмы безусловной минимизации делят на классы в зависимости от вида используемой информации. Если на каждой итерации используются лишь значения минимизируемых функций, то метод называется методом нулевого порядка. Если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то имеют место методы первого порядка, при необходимости дополнительного вычисления вторых производных - методы второго порядка. В настоящее время разработано множество численных методов для задач как безусловной, так и условной оптимизации. Естественным является стремление выбрать для решения конкретной задачи наилучший метод, позволяющий за наименьшее время использования ПЭВМ получить решение с заданной точностью. Качество численного метода характеризуется многими факторами: скоростью сходимости, временем выполнения одной итерации, объемом памяти ПЭВМ, необходимым для реализации метода, классом решаемых задач и т. д. Решаемые задачи также весьма разнообразны: они могут иметь высокую и малую размерность, быть унимодальными (обладающими одним экстремумом) и многоэкстремальными и т. д. Один и тот же метод, эффективный для решения задач одного типа, может оказаться совершенно неприемлемым для задач другого типа. Очевидно, что разумное сочетание разнообразных методов, учет их свойств позволят с наибольшей эффективностью решать поставленные задачи. Многометодный способ решения весьма удобен в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Для успешной работы в таком режиме очень полезно знать основные свойства, специфику методов оптимизации. Это обеспечивает способность правильно ориентироваться в различных ситуациях, возникающих в процессе расчетов, и наилучшим образом решить задачу.
, (3)
. (4)
. (5)
GT , (6)
. (7)
(9)
. (10)
(11)
, определяемой по формуле (7). Вычисляется доверительный интервал:
.
.
, i=1, …, n. (1)
, (2)
(4)
(5)
. (6)