Многоканальная модель массового обслуживания

λ 2

Одноканальная модель массового обслуживания

На рис. 5.2 представлена одноканальная модель массового обслуживания потребителей

Рис. 5.2 Одноканальная система массового обслуживания потребителей

Обычный пример массового обслуживания — это одноканальная или одноузло­вая очередь. Вновь прибывшие объекты формируют единую очередь, чтобы их обслужили на одном пункте В этом типе системы обычно бывают следующие условия.

1. Вновь прибывшие обслуживаются в порядке прибывания, по принципу «первым прибыл — первым обслужили», каждый вновь прибывший ждет своей очереди независимо от длины очереди.

2. Вновь прибывшие независимы от прибывших раньше, но среднее количе­ство объектов в очереди (интенсивность входного потока) не меняется во времени.

3. Интенсивность входного потока описывается пуассоновским распределе­нием вероятности, и объекты поступают из бесконечной (или очень боль­шой) совокупности.

4. Периоды времени обслуживания меняются от одного потребителя к друго­му и не зависят друг от друга, но их среднее значение известно.

5. Время обслуживания изменяется согласно отрицательному, экспоненци­альному распределению вероятности.

6. Средняя интенсивность обслуживания больше, чем средняя интенсивность входного потока.

Когда эти условия соблюдены, можно применять формулы, позволяющие рассчитать семь оценок обслуживания очередей, описанных выше. Вычисления по этим формулам основаны на общих показателях среднего количества вновь прибывших объектов за период времени (λ) и среднего количества потребителей, обслуженных за период времени (μ). Следующий при­мер иллюстрирует, как можно применять одноканальную модель.

Механик шиномонтажного участка, может ремонтировать колеса со средней скоростью три колеса в час (или один примерно за 20 минут) в соответствии с отрицательным экспоненци­альным распределением. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, прибывают в ма­стерскую в среднем два человека в час, следуя пуассоновскому распределению. Клиенты обслуживаются по принципу «первым прибыл — первым обслужили» и поступают из очень большой совокупности возможных потребителей.

Из этого описания мы можем взять операционные характеристики системы массового обслуживания шиномонтажного участка:

λ = 2 машины, поступающие в час;

μ = 3 машины, обслуживаемые в час;

L_s = —— = —— = 2 машины в системе в среднем

μ – λ 3 - 2

1 1

W_s= —— = ——=1час;

μ - λ3-2

Т.е. 1 час — среднее время ожидания в системе.

L_q = λ² / μ(μ – λ) = 2² / 3(3 – 2) = 1,33 машин, ожидающих в очереди в среднем

W_q = λ / μ(μ – λ) = 2 / 3(3 – 2) = 2/3

40 минут среднего времени ожидания в очереди на одну машину.

ρ = λ / μ = 2/3, т.е. 66,6% времени занятости механика.

P_о = 1 – λ / μ = 1 – 2/3 , т.е.0,33 вероятность того, что в системе 0 потребителей

.

Р_n>3 = (λ / μ)^k+1 = (2 /3)¹⁺³ , т.е.0,198, или 19,8%, вероятность того, что в системе больше 3 машин.

Когда операционные характеристики системы массового обслуживания подсчи­таны, важно провести экономический анализ их влияния. Модель линии обслужи­вания, описанная выше, очень полезна при прогнозировании времени ожидания, длины очередей, времени простоя и т. д., но она не определяет оптимального реше­ния или значительных факторов затрат. Решение пробле­мы образования очередей может потребовать от руководства выбора между ростом издержек обеспечения лучшего обслуживания и снижением издержек ожидания, вторичных по отношению к обеспечению этого обслуживания.

Для иллюстрации применения методов теории массового обслуживания к проектированию процессов оказания услуг необходимо рассмотреть многоканальную систе­му массового обслуживания, в которой прибывающие потребители обслужива­ются двумя или более узлами или каналами обслуживания. Допустим также, что потребители, ожидающие обслуживания, стоят в одной очереди и подходят к пер­вому освободившемуся исполнителю. Пример такой многоканальной, однофа­зовой линии обслуживания сегодня можно встретить в сервисе транспортных средств

Многоканальная система, представленная здесь (рис. 5.3), предполагает также, что вновь прибывающие объекты описываются пуассоновским распределением вероятности, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Обслужи­вание выполняется по принципу «первым прибыл — первым обслужили», и пред­полагается, что уровень обслуживания у всех исполнителей одинаковый. Другие предположения, указанные ранее для одноканальной модели, также применимы и для многоканальной системы.

Рис. 5.3 Структурная схема многоканальной системы

Параметры распределения и формулы массового обслуживания для этой модели приведены ниже.

Потребители, которые пребывают с частотой около λ == 2 человека в час, ждут в одной очереди, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик устанавливает глушители со скоростью около μ = 3 глушителя в час.

Чтобы понять, как работает эта система по сравнению со старой одноканаль­ной системой массового обслуживания, рассчитаем несколько операционных ха­рактеристик для канальной системы с числом каналов М = 2 и сравним полученные результаты со значениями, найденными в первом примере.

Расчет начинается с определения вероятности того, что в системе находится 0 потребителей Р_о. В рассматриваемом случае (М=2) эта величина рассчитывается по формуле:

Р_о = [1 +λ/μ + (λ/μ)^м Мμ/М!*(Мμ – λ)]^-1 =

= [1 + 2/3 + (2/3)² 2*2*3/2*(2*3 – 2)]^-1 = 0,5

Т.е. 0,50 вероятность того, что в системе 0 машин.

Затем определяется среднее количество потребителей в системе:

L_s = λμ*(λ/μ)^м Р_о /(М-1)!*(Мμ – λ)² + λ/μ = 2*3*(2/3)²*0,5/(2*3 – 2)² +2/3 = 0,75 Т.е. среднее количество потребителей в системе 0,75

Среднее время, которое потребители проводят в очереди или обслуживаются(находятся в системе):

W_s = μ(λ/μ)^M P₀/ (M – 1)!*(Mμ –λ) + 1/μ = L_s/λ = 0,75/2 = 0,375.

Т.е.. 22,5 минут среднего времени, которое машина проводит в системе. Среднее количество потребителей в очереди на шиномонтаж вычисляется по формуле: L_q = L_s – λ/μ = 0,75 – 0,67 = 0,083

Т.е. 0,083 среднего количества машин в очереди.

Среднее время, которое потребитель в очереди:

W_q = L_q/λ = 0,083/2 = 0,0415 или 2,5 минуты, среднего времени, которое машина проводит в очереди.

Можно подвести итог этим характеристикам и сравнить их с такими же характеристиками одноканальной модели следующим образом:

Ускорение обслуживания значительно влияет почти на все характеристики. Особенно снизилось время, проведенное в очереди, — с 40 до 2,5 минут. Это согла­суется с графиком соотношения затрат, изображенным на рис. 5.1.