Методы решения нелинейных уравнений

1. Метод половинного деления (метод деления отрезка пополам, метод бисекции, метод Больцано), применяемый для приближённого решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений вида .

Сначала задаются границы отрезка a и b, внутри которого ищется решение, а также погрешность e.

Метод половинного деления заключается в том, что в точке x, являющейся серединой отрезка , вычисляется значение функции . Если это значение близко к нулю, то решением является точка x (т.е. x является корнем уравнения), иначе середина отрезка становится границей нового отрезка, внутри которого функция изменяет знак. Таким образом, отрезок уменьшается вдвое, а далее процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение.

Блок-схема метода половинного деления представлена на рисунке 1.

2. Метод Ньютона(метод касательных, метод линеаризации), применяемый для приближённого решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений вида , причём функция должна иметь производную , а также для решения систем уравнений.

Сначала задаются начальное приближение x₀ и погрешность e.

Метод Ньютона заключается в том, что из начальной точки проводится касательная к графику функции и вычисляется пересечение касательной с осью x по формуле . Если в новой точке значение близко к нулю, то эта точка является решением (т.е. является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.

Блок-схема метода Ньютона представлена на рисунке 2.

3. Метод итераций (метод простой итерации, метод последовательных приближений, метод Якоби), применяемый для приближённого решения нелинейных уравнений вида , а также для решения систем уравнений.

Сначала уравнение приводится к виду , где l – некоторый коэффициент, а также задаётся начальное приближение в точке . Метод итераций заключается в том, что в точке вычисляется значение функции . Если новое значение x близко к предыдущему, то решением является эта точка (т.е. является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.