Методы решения дифференциальных уравнений

Методы решения систем уравнений

1. Метод Гаусса (метод исключения), применяемый для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида: , где используются матрица и столбец .

Метод Гаусса заключается в том, что в прямом ходе метода все уравнения системы преобразуются к эквивалентным уравнениям таким образом, чтобы были исключены коэффициенты ниже главной диагонали (т.е. чтобы матрица A стала треугольной). Далее в обратном ходе метода из последнего уравнения вычисляется . Полученное значение подставляется в -е уравнение и вычисляется . Аналогично находятся все остальные значения неизвестных ,…,,.

2. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя), применяемый для решения СЛАУ вида: , а также для решения систем нелинейных уравнений.

Метод Зейделя заключается в том, что по заданным начальным приближениям для ,…,из 1-го уравнения вычисляется , найденное значение подставляется во 2-е уравнение системы и находится , аналогично вычисляются остальные значения неизвестных. Если новые значения ,…,близки к предыдущим значениям, то решение найдено, иначе процесс продолжается дальше.

3. Метод простой итерации для решения СЛАУ отличается тем, что найденные значения ,…,подставляются в уравнения на следующем шаге, а не на текущем, как в методе Зейделя.

1. Метод Эйлера, применяемый для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. для решения задачи Коши) вида при начальном условии .

Метод Эйлера заключается в том, что производная заменяется соотношением , где – шаг интегрирования. Далее на каждом шаге значение неизвестной функции в точке вычисляется по формуле .

2. Метод Рунге-Кутта (метод Рунге-Кутты), применяемый для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности является наиболее распространённым и заключается в том, что интегрирование дифференциального уравнения заменяется формулой: , где ; ; ; .