Моделирование случайных полей

Случайными полями называются случайные функции многих переменных. Обычно их четыре - , где – пространственные координаты, – временная координата.

Обозначим случайное поле следующим образом:

, где . (6.1)

Примерами случайных полей являются электромагнитные поля, диаграммы вторичного излучения радиолокационных целей, на формирование которых оказывают влияние множество случайных факторов, например, статистически неровные поверхности, в частности, земная и морская поверхности.

Случайные поля могут быть скалярными (одномерными) и векторными (многомерными). Если каждой точке поля соответствует какое-то одно значение, например, высота местности над уровнем моря, то такое поле называется скалярным. Если каждая точка хранит два значения (например, амплитуду и фазу переотражения), то такое поле является векторным.

В общем случае случайное поле задается своей многомерной плотностью распределения вероятности. При .

Если статистические характеристики поля не зависят от начала отсчета времени, а только от временного сдвига , то такие поля называются стационарными. Если еще и перенос начала отсчета пространственных координат не влияет на статистические характеристики поля, а зависят только от сдвига , то такие поля называются однородными по пространству.

Как и ранее, под задачей моделирования случайных полей будем понимать разработку алгоритмов для формирования на ПК дискретных реализаций случайного поля . При этом полагается, что исходным материалом при моделировании случайных полей являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел рассматривается как -коррелированное случайное поле или просто -поле. -поле является обобщением дискретного белого шума на случай нескольких переменных. Моделирование такого поля осуществляется весьма просто: пространственно-временной координате ставится в соответствие выбранное значение числа из датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

В общем случае, если известен многомерный закон распределения, случайное поле можно моделировать как случайный многомерный вектор, используя известные методы. На практике это оказывается достаточно трудоемко. Упрощения можно добиться, если разработать алгоритмы для специальных классов случайных полей. Рассмотрим здесь только моделирование стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей.

Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями:

. (6.2)

Математическое ожидание предполагается равным нулю.

Пространственно-временная корреляционная функция связана со спектральной плотностью случайного поля через четырехмерное преобразование Фурье (обобщение Винера-Хинчина):

, (6.3)

где - пространственная частота;

- обычная циклическая частота;

- скалярное произведение векторов и .

При моделировании случайных полей используют (как и при моделировании случайных процессов) методы скользящего суммирования и рекуррентных уравнений.

6.1 Моделирование случайных полей
методом скользящего суммирования

Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного поля можно сформировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования -поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Пусть задана импульсная характеристика пространственно-временного фильтра (ПВФ) , формирующего из -поля случайное поле с заданной спектральной или корреляционной функциями.

Рис. 6.1 Формирование случайного поля с заданными характеристиками

из - поля

Если она не задана, то ее можно найти через передаточную функцию ПВФ K(js,jω) или заданную спектральную плотность случайного поля:

. (6.4)

Также как и в одномерном случае, используется идея формирующего фильтра, а сам процесс пространственно-временной фильтрации -поля получается в виде:

, (6.5)

где - исходное -поле.

Суммирование осуществляется по всем значениям , при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю.

Подготовительная работа и процесс суммирования упрощаются, если функцию можно представить в виде произведения:

. (6.6)

В этом случае корреляционная функция может быть представлена в виде произведения:

. (6.7)

Это позволяет свести сложный процесс четырехкратного суммирования к повторному применению однократного скользящего суммирования.