Моделирование случайных потоков

Процессы со сложными видами нестационарности

Процессы со сложными видами нестационарности трудно охарактеризовать общими свойствами. Они образуются в виде комбинации рассмотренных выше видов нестационарностей.

Случайные потоки событий являются специфичным классом случайных процессов. Они определяют случайные моменты времени , в которые происходят некоторые события (рис. 5.1).

Рис. 5.1 Случайный поток

Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания, в задачах приема импульсных сигналов, в задачах надежности.

В общем случае случайные потоки задаются с помощью многомерной плотности распределения вероятностей интервалов времени между двумя соседними событиями:

, (5.1)

где ; .

При таком задании случайных потоков моделирование их сводится к формированию реализаций случайных векторов с законом распределения (5.1), для чего могут быть использованы известные методы.

Моменты наступления событий при этом определяются по простой рекуррентной форму­ле:

. (5.2)

Случайные потоки столь общего вида встречаются в приложениях достаточно редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием, у которых интервалы статистически независимы, т.е. многомерную плотность распределения вероятностей можно представить в виде произведения одномерных:

. (5.3)

В этом случае эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения .

Случайные потоки, у которых одномерные плотности равны между собой, т.е. , называются рекуррентными стационарными потоками. Они определяются только одним одномерным законом .

К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновский поток, у которого закон распределения интервалов времени между событиями экспонен­циальный:

, (5.4)

где имеет смысл интенсивности потока (интенсивность – количество событий в единицу времени).

Математическое ожидание интервала времени между событиями является величиной, обратно пропорциональной интенсивности потока:

. (5.5)

Моделирование пуассоновских потоков осуществляется достаточно просто. Для этого необходимо

1) получить реализацию случайной величины с экспоненциальным законом распределения (5.4):

, (5.6)

где - реализация случайной величины, равномерно распределенной от 0 до 1.

2) вычислить моменты наступления событий:

, . (5.7)