Случайный процесс с равномерным распределением

Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения плотности вероятности

Пусть требуется получить дискретную реализацию стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале и имеющего корреляционную функцию .

Корреляционную функцию случайного процесса можно представить в виде:

.

Для стационарного случайного процесса, равномерно распределенного на интервале , математическое ожидание будет равно нулю (), а дисперсия .

Тогда можно записать

, (4.41)

где - нормированная корреляционная функция.

Для получения стационарного случайного процесса с равномерным распределением из нормального достаточно последний подвергнуть нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель» (рис. 4.18).

Рис. 4.18 Характеристика нелинейности типа «сглаженный ограничитель»

Точное выражение для функции в случае, когда процесс является нормальным с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, будет иметь вид:

, (4.42)

где - функция Лапласа.

Корреляционную функцию процесса, получаемого с помощью такого преобразования, удается выразить через корреляционную функцию исходного процесса:

. (4.43)

Определяем отсюда и с учетом (4.41) получаем:

. (4.44)

Поскольку нормированная корреляционная функция не может превышать по модулю 1,т.е., то аргумент синуса в (4.44) лежит в пределах от до , и его можно заменить аргументом, внеся несущественную погрешность:

. (4.45)

Кроме того, в задачах, не требующих высоких точностей, можно считать, что:

. (4.46)

Таким образом, «сглаженный ограничитель», превращающий нормальный случайный процесс в процесс с равномерным распределением, не искажает энергетический спектр исходного процесса, и корреляционные функции процессов на его входе и выходе будут равны.

Следовательно, алгоритм моделирования случайного процесса, равномерно распределенного на интервале , сводится к формированию реализации нормального случайного процесса с заданной корреляционной функцией и его преобразованию (4.42).

Рис.4.19. Случайный процесс с равномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)