Случайный процесс с экспоненциальным распределением

Случайный процесс с распределением Релея

Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и статистические характеристики случайного процесса с законом Релея (математическое ожидание и дисперсия ) были уже приведены выше в 2.4:

(4.47)

Случайный процесс с распределением Релея получается в результате преобразования:

, (4.48)

где - нормальные случайные процессы с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходных нормальных случайных процессов следующим образом:

. (4.49)

С учетом того, что , можно ограничиться двумя первыми членами разложения в ряд:

. (4.50)

С другой стороны, корреляционную функцию случайного процесса можно представить в виде .

Подставив значения математического ожидания и дисперсии из (4.47), получим

. (4.51)

Сравнивая (4.50) и (4.51) и принимая, что , получим:

. (4.52)

Таким образом, исходные нормальные случайные процессы должны иметь корреляционную функцию, равную

. (4.53)

К сожалению, этот метод пригоден только для случаев, когда заданная корреляционная функция не принимает отрицательных значений.

.

Рис. 4.20 Случайный процесс с распределением Релея и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)

Для моделирования случайного процесса с распределением Релея-Райса можно использовать эти же алгоритмы, добавляя параметр распределения в нелинейное преобразование.

Аналитическое выражение для плотности закона распределения вероятности и статистические характеристики случайного процесса с экспоненциальным законом распределения (математическое ожидание и дисперсия ) были уже приведены выше в 2.4:

(4.54)

Алгоритм, позволяющий получить случайный процесс с таким законом распределения, выглядит следующим образом:

, (4.55)

где - нормальные случайные процессы с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Можно показать, что корреляционная функция случайного процесса будет выражаться через нормированную корреляционную функцию исходных нормальных случайных процессов следующим образом:

. (4.56)

Подставив значения математического ожидания и дисперсии из (4.54), получим:

. (4.57)

Сравнивая (4.56) и (4.57), получаем: .

Таким образом, исходные нормальные случайные процессы должны иметь корреляционную функцию равную:

. (4.58)

В отличие от случая с законом распределения Релея равенство здесь точное.

Алгоритм моделирования при этом будет состоять из формирования реализаций нормальных случайных процессов с корреляционной функцией и нелинейного преобразования (4.55).

Этот метод также пригоден только для случаев, когда заданная корреляционная функция не принимает отрицательных значений.

Рис. 4.21 Случайный процесс с экспоненциальным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией (временная реализация)