Моделирование случайных процессов с распределениями плотности вероятности, отличными от нормальной

Пример 4.3

Пусть требуется получить реализацию нормального случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид:

.

Заметим, что известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корре­ляционной функцией (4.17). Чтобы сформировать реализацию требуемого процесса, необходимо по типовым алгоритмам получить две независимые реализации случайных процессов с такой корреляционной функцией:

;

,

где и - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициенты рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20), используя значения параметров корреляционной функции и . Для получения требуемой реализации остается только подвергнуть и нелинейному преобразованию (4.39):

.

Случайные процессы с распределениями плотности вероятности, отличными от нормальной, задаются обычно своими многомерными законами распределения плотности вероятности. При небольшом числе дискретных точек задачу моделирования такого процесса можно решить как задачу формирования реализаций случайного вектора по заданному многомерному распределению. Для этого надо применить один из рассмотренных выше способов, например, метод условного распределения плотностей вероятностей или многомерный метод Неймана. Однако при формировании реализаций большой длины эти методы использовать проблематично.

Поэтому на практике, как правило, рассматривается более узкая задача моделирования «ненормальных» стационарных случайных процессов, а именно, моделирование процессов по их одновременно заданным корреляционным функциям и одномерным законам распределения плотности вероятности. Эта задача сравнительно легко решается путем специально подобранных нелинейных преобразований соответствующих нормальных стационарных случайных процессов.

Пусть в качестве исходного выбран стационарный нормальный случайный процесс . Как известно, всегда существует такое нелинейное безынерционное преобразование , которое превращает нормальную функцию плотности распределения вероятности в заданную .

Если исходный нелинейный процесс имеет корреляционную функцию , то преобразованный будет иметь корреляционную функцию , отличающуюся от и связанную с ней зависимостью . Вид этой зависимости определяется нелинейным преобразованием (рис. 4.17).

Рис.4.17 Преобразование исходного случайного процесса

Для того чтобы при моделировании корреляционная функция преобразованного процесса была требуемой, нужно выбрать корреляционную функцию исходного процесса равной , где - обратная функция от .

Таким образом, подготовительная работа перед моделированием случайных процессов с распределениями плотности вероятности, отличными от нормальной, состоит из следующих этапов:

1) нахождение по заданной плотности распределения вероятности нелинейного преобразования ;

2) получение по заданной функции зависимости ;

3) решение уравнения относительно , т.е. определение корреляционной функции исходного процесса ;

4) подготовка алгоритма для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией .

На этом подготовительная работа заканчивается, а моделирование сводится к формированию дискретных реализаций нормального случайного процесса с корреляционной функцией и преобразованию этих реализаций:

. (4.40)

Следует отметить, что подготовительная работа является довольно трудоемкой. Ее можно упростить, если использовать особенность функции и применять отличные от описанных нелинейные преобразования, например, наличие на входе не одного, а двух нормальных случайных процессов.