Пример 4.2

Методы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов

Случайный процесс с треугольной корреляционной функцией

Случайный процесс с экспоненциальным спектром

; (4.29)

. (4.30)

Рис. 4.13 Корреляционная функция вида и спектральная плотность случайного процесса

Алгоритм моделирования:

, (4.31)

где

(4.32)

Суммирование производится до тех пор, пока коэффициенты не станут пренебрежимо малы.

Рис. 4.14 Случайный процесс с нормальным распределением, корреляционной функцией вида (4.29) и экспоненциальным спектром (временная реализация и АКФ)

(4.33)

, (4.34)

где .

Рис. 4.15 Треугольная корреляционная функция и спектральная плотность случайного процесса

Алгоритм моделирования:

, (4.35)

где

. (4.36)

Рис.4.16 Случайный процесс с нормальным распределением и треугольной корреляционной функцией (временная реализация и АКФ)

Первые три вида случайных процессов относятся к классу случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Для их моделирования наиболее удобно применение рекуррентных алгоритмов, не имеющих методических погрешностей. Для остальных трех процессов, которые не относятся к классу процессов с рациональной спектральной плотностью, был применён метод скользящего суммирования. Алгоритмы их моделирования являются приближенными, однако при увеличении количества слагаемых при суммировании методическая погрешность может быть уменьшена.

Существуют два метода, которые позволяют значительно расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путём несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов.

а)Известно, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна сумме корреляционных функций слагаемых, т.е. Следовательно, если корреляционная функция является суммой двух или нескольких корреляционных функций из рассмотренных выше, то реализацию случайного процесса можно сформировать путём суммирования двух или нескольких независимых реализаций случайных процессов, полученных по типовым алгоритмам.

Пусть требуется получить реализацию нормального случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид:

.

Такой случайный процесс можно представить в виде суммы двух процессов:

,

где - случайный процесс с корреляционной функцией:

,

а - случайный процесс с корреляционной функцией:

.

Для моделирования таких случайных процессов можно воспользоваться типовым алгоритмом (4.19):

где и - независимые между собой нормальные случайные последовательности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициенты рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20), используя значения параметров корреляционной функции и , коэффициенты рассчитываются в соответствии с выражениями (4.20), но используя уже значения параметров корреляционной функции и .

б)Из теории случайных процессов известна следующая теорема:

Если и - два стационарных нормальных центрированных и независимых случайных процесса с корреляционной функцией , то случайный процесс:

(4.37)

будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом с корреляционной функцией:

. (4.38)

Это позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с корреляционной функцией вида (4.38), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией .

Для этого надо выработать дискретные реализации двух независимых случайных процессов и с корреляционными функциями , а затем в соответствии с (4.37) преобразовать их:

. (4.39)