Типовые алгоритмы моделирования нормальных случайных процессов с часто встречающимися корреляционными функциями

Метод рекуррентных разностных уравнений

Пример 4.1

Пусть требуется сформировать реализацию случайного процесса, корреляционная функция которого задается следующим образом:

Процесс задан своей корреляционной функцией, спектр неизвестен и вычисление его через преобразование Фурье затруднительно, поэтому в данном случае целесообразно найти весовые коэффициенты через решение нелинейной алгебраической системы уравнений:

Решением ее будут значения коэффициентов:

а алгоритм будет выглядеть следующим образом:

,

где - последовательность независимых случайных чисел.

Алгоритмы моделирования, основанные на этом методы, используется только для случайных процессов с дробно-рациональным спектром:

, (4.12)

где и - полиномы степени и соответственно.

Применение рекуррентных алгоритмов наиболее эффективно тогда, когда корреляционная функция моделируемых процессов имеет невысокий порядок, определяемый числом полюсов спектральной функции. В этих случаях моделирующие алгоритмы очень просты, не имеют методических погрешностей, и их параметры удаётся выразить в явном виде через параметры корреляционной функции.

Отсутствие методической погрешности понимается в том смысле, что дискретные реализации , полученные на ЭВМ, и последовательности выборочных значений процесса в точности совпадают при любом , если считать исходные случайные числа строго независимыми и нормальными.

Параметры рекуррентных алгоритмов () получают методами:

· факторизации;

· дискретизации непрерывного формирующего фильтра.

Здесь приводятся результаты применения описанных выше методов для моделирования стационарных нормальных процессов с распространёнными корреляционными функциями.

Во все алгоритмы заложен принцип преобразования последовательности независимых нормально распределённых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (дискретный белый шум) в последовательность с заданной корреляционной функцией:

. (4.13)