Метод скользящего суммирования

Пусть задана исходная последовательность независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (нормированный ДБШ).

Корреляционная функция последовательности :

(4.3)

В соответствии с выражением (4.1) сформируем из последовательности новую:

. (4.4)

Чтобы получить следующий отсчет выходного процесса, необходимо воспользоваться следующим выражением:

. (4.5)

Случайная величина получается путем взвешенного суммирования с весами независимых отсчетов входной последовательности , а - суммированием отчетов, сдвинутых на единицу вправо (рис.4.2).

Рис. 4.2 Формирование случайных величин и

Таким образом, зависимость (коррелированность) между случайными величинами и обеспечивается за счет того, что в их образовании участвуют [N-1] общие случайные значения входной последовательности . При сдвиге последовательности на отсчетов значения и становятся некоррелированными (в их образовании нет ничего общего).

Характер корреляционных связей (вид КФ) процесса определяется только набором коэффициентов и не зависит от закона распределения исходной случайной последовательности . Если распределена по нормальному закону, то в силу линейности преобразования последовательность также будет иметь нормальный закон распределения.

Корреляционная функция выходного процесса при этом будет определяться соотношением:

(4.6)

Вычисление корреляционной функции по этим формулам можно свести к перемножению матриц:

(4.7)

Если коэффициенты заданы, то вычисление корреляционной функции случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, не представляет никакого труда. Гораздо сложнее решить обратную задачу - определить значения коэффициентов по заданной корреляционной функции.

Возможные пути решения данной задачи:

1) Получение весовых коэффициентов путём решения нелинейной алгебраической системы уравнений (4.6).

2) Получение весовых коэффициентов путём разложения функции спектральной плотности в ряд Фурье.

; ; (4.8)

В качестве можно принять дискретные отсчеты импульсной характеристики:

(4.9)

3) Получение весовых коэффициентов методом факторизации. Если случайный процесс со спектром получается в результате прохождения белого шума через фильтр с коэффициентом передачи , то тогда будет справедливо следующее соотношение:

. (4.10)

Рис. 4.3 Прохождение белого шума через фильтр с коэффициентом передачи

Если дискретный белый шум является нормированным, то . Тогда спектр на выходе равен:

. (4.11)

Метод факторизации подразумевает разложение заданной спектральной плотности на два сомножителя. Один из множителей будет представлять собой передаточную функцию формирующего фильтра.

4) Если известно, что выходной процесс является результатом воздействия белого шума на линейную систему с заданной передаточной функцией и импульсной характеристикой , то при моделировании удобно использовать данную систему как формирующий фильтр. При этом совпадают с .

Если моделируемый процесс задан своей корреляционной функцией, а энергетический спектр процесса неизвестен, причём вычисление его через преобразование Фурье затруднительно, то целесообразно использовать первый метод.

Если процесс задан спектром или спектр легко находится через КФ, то используется второй метод.

Третий метод целесообразно использовать тогда, когда процесс является процессом с рациональным спектром, однако в этом случае, как правило, более эффективны рекуррентные уравнения.

Четвёртый метод наиболее простой. Он используется тогда, когда известна импульсная характеристика.