Моделирование нормальных случайных процессов

Моделирование случайных процессов

Пример 3.1

Пусть требуется промоделировать случайный вектор с корреляционной матрицей следующего вида:

.

Тогда из (3.14) следует:

Алгоритм моделирования будет выглядеть следующим образом:

где и - независимые случайные величины.

Рассмотренные ранее методы моделирования случайных векторов можно использовать и для моделирования случайных процессов. Однако при формировании реализации большой длины эти методы требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование. К сожалению, других более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с заданным многомерным законом распределения или заданной корреляционной функцией до настоящего времени неизвестно.

Однако на практике столь широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко, чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов. Например, стационарный нормальный случайный процесс; стационарные процессы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах и т.п.

Для стационарных нормальных случайных процессов найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В их основу положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум - ДБШ) в последовательность , коррелированную по заданному закону, т.е. имеющую заданную корреляционную функцию (КФ).

При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего суммирования:

, (4.1)

либо как рекуррентное уравнение:

. (4.2)

Вид получаемой корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью этих алгоритмов, определяется набором значений коэффициентов , , и их количеством, которое обычно невелико.

Алгоритмы отличаются простотой и позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Коэффициенты , , определяются на этапе предварительной подготовки к моделированию.

Саму задачу цифрового моделирования с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует белый шум на его входе в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками на его выходе (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Изменение корреляционной функции

при прохождении случайного процесса через формирующий фильтр