Метод линейного преобразования

Многомерный метод Неймана

Идея метода такая же, как и в одномерном случае, с той разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределённые не на плоскости под кривой, а в ()-мерном объёме под -мерной поверхностью.

Рис. 3.2 К многомерному методу Неймана

Пусть - -мерная функция плотности случайного вектора c областью определения случайных координат ().

По аналогии с одномерным случаем вырабатывается случайных чисел , равномерно распределённых в интервалах и соответственно, где - максимальное значение функции .

В качестве реализации случайного вектора принимаются те значения случайного вектора , которые удовлетворяют условию:

. (3.6)

Числа, не удовлетворяющие условию, отбрасываются и производится переход к 1-му шагу.

Этот способ применим в тех случаях, когда достаточно обеспечить лишь заданную матрицу корреляционных моментов случайных векторов. Это возможно в связи со следующими обстоятельствами:

· случайные вектора, имеющие нормальную плотность распределения вероятности (нормальные случайные вектора), играющие очень важную роль в практических приложениях, однозначно задаются матрицей корреляционных моментов, и, следовательно, моделирование их в рамках корреляционной теории равносильно моделированию по заданным многомерным распределениям;

· случайные вектора, имеющие плотность распределения вероятности, отличную от нормальной, часто появляются в результате некоторых преобразований нормальных случайных векторов. Моделирование таких случайных векторов сводится к моделированию нормальных случайных векторов с последующим воспроизведением заданного преобразования, для чего достаточно обеспечить лишь необходимые корреляционные связи исходных (нормальных) векторов;

· многомерные законы распределения случайных векторов, не являющихся нормальными, весьма трудно получить теоретически и экспериментально. Их корреляционные моменты обычно определяются значительно проще. Поэтому практически в этих случаях многомерные законы распределения, как правило, неизвестны, а задача моделирования случайных векторов имеет смысл лишь в рамках корреляционной теории.

Основная идея метода линейного преобразования состоит в том, чтобы, выработав независимых случайных величин , подвергнуть их такому линейному преобразованию, после которого полученные величины имели бы заданную корреляционную матрицу:

. (3.7)

Известно, что произвольное линейное преобразование -мерного вектора сводится к умножению его на некоторую матрицу:

, (3.8)

где ; .

Выберем матрицу треугольной:

. (3.9)

Тогда можно записать:

(3.10)

Элементы матрицы находятся из условий:

1) (3.11)

2) (3.12)

Найдем математическое ожидание произведений:

(3.13)

Из этих уравнений получаем:

(3.14)

Действуя, таким образом, можно получить все элементы матрицы . Тогда алгоритм выработки случайного вектора с заданной корреляционной матрицей сведётся к умножению матрицы на реализации вектора .

Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного вектора. Законы распределения координат не принимаются во внимание, поэтому законы распределения координат исходного вектора могут быть произвольными, например, равномерными. Требуется только, чтобы случайные координаты удовлетворяли условию некоррелированности.

Если закон распределения координат исходного вектора нормальный, то и искомый вектор будет нормальный (так как преобразования линейны).

К сожалению, этот способ при больших становится неудобным, так как требует большой и трудоемкой подготовительной работы.