Нормальный закон распределения

; (2.8)

, . (2.9)

Рис. 2.8 Нормальный закон распределения

Такое распределение имеют большинство аддитивных ошибок измерения, полученных при многократных измерениях.

На практике используют различные методы получения случайных величин с нормальным законом распределения. Наиболее часто используются следующие:

а) Этот алгоритм вытекает из центральной предельной теоремы:

, (2.10)

где - равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа.

Наиболее удобно использовать значение , т.е. . Тогда случайная величина будет иметь практически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией

Однако этот алгоритм требует относительно больших затрат машинного времени и дает хорошее совпадение с нормальным законом распределения лишь при реализациях в тысячи отсчетов.

б) Второй алгоритм основан на известном факте, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет релеевское распределение, а другая распределена по закону арксинуса, является нормальным. Это позволяет использовать следующий алгоритм:

, (2.11)

где и - независимые равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа.

Тогда будет иметь нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

в) Суть третьего алгоритма заключается в следующем:

1) Берутся два независимых равномерно распределенных от 0 до 1 случайных числа и (эти числа определяют координаты случайных точек на плоскости от 0 до 1).

2) Числа преобразуются следующим образом:

В результате преобразования они оказываются равномерно распределены от -1 до 1 (теперь числа определяют координаты случайных точек на плоскости от -1 до 1).

3) Вычисляется величина (квадрат длины случайного вектора на плоскости, определяемого координатами и ).

4) Если выполняется условие (проверка, вписывается ли случайный вектор в окружность с радиусом, равным 1), то вычисляется величина:

.

Если нет, то происходит возврат к пункту 1.

5) Случайные величины и будут иметь нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Достоинством алгоритма является то, что одновременно формируются два нормально распределенных случайных числа и .

Рис. 2.9 Случайные величины с нормальным законом распределения и
их гистограмма