Метод Неймана

Пример 2.1

Моделирование случайных величин

2.1 Метод нелинейного преобразования,
обратного функции распределения

Пусть – функция распределения вероятностей случайной величины , а - функция обратная . Тогда случайная величина имеет заданный закон распределения , если случайная величина равномерно распределена от 0 до 1.

Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей закон распределения Релея:

.

Для получения обратной функции приравняем и выразим из полученного уравнения величину :

;

; ;

.

Так как случайная величина должна быть распределена равномерно от 0 до 1, то и случайная величина будет распределена так же, поэтому окончательно можно записать:

К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.

Метод используется для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Усеченный закон распределения случайной величины

Суть метода заключается в выполнении последовательности действий:

1) из внутреннего датчика равномерно распределенных случайных величин неза­висимо выбираются пары чисел и ;

2) из них формируются другие случайные числа по следующим правилам:

, (2.1)

, (2.2)

где , - границы интервала определения случайной величины ,

- максимальное значение на интервале определения случайной величины (см. рис.2.1).

После преобразования становится равномерно распределена от до , а - от до .

3) в качестве -й реализации случайной величины берется число из тех пар чисел, для которых выполняется условие:

. (2.3)

Пары, не удовлетворяющие этому неравенству, выбрасываются, и на шаге происходит возврат к первому пункту (новая выборка пары чисел и ).

Пары случайных чисел и можно рассматривать как координаты случайных точек на плоскости, равномерно распределенных вдоль осей и внутри прямоугольника (рис.2.2).

Пары, удовлетворяющие неравенству - это координаты точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей внутри той части , которая расположена под кривой.

Рис. 2.2. К методу Неймана