Цифровая модель линейного инерционного звена на основе дискретной свертки

В) фазовое детектирование

Б) ограничение амплитуды

А) линейное и квадратичное детектирование

Преобразующая часть модели

1. Линейное безынерционное звено

При сложении нескольких сигналов на одной несущей частоте их комплексные огибающие складываются:

. (1.23)

При идеальном усилении сигнала его комплексная огибающая умножается на коэффициент усиления:

, (1.24)

где - коэффициент усиления.

1. Нелинейное безынерционное звено

При идеальном функциональном моделировании таких звеньев используется их аппроксимация нелинейной степенной функцией следующего вида:

(1.25)

Рис. 1.8 Нелинейная степенная функция

При характеристика соответствует идеальному амплитудному ограничителю, при – линейному детектору, а при – квадратичному детектору.

Рис. 1.9 Прохождение узкополосного сигнала
через нелинейное устройство

Если пропустить узкополосный сигнал через нелинейное устройство (рис. 1.9), то сигнал на его выходе примет следующий вид:

, (1.26)

где - некая функция, в которую входят функция Бесселя и гамма-функция.

Как и следовало ожидать, выходной сигнал представляет собой сумму колебаний частоты с фазами . Огибающая этих колебаний пропорциональна -ой степени амплитуды входного сигнала.

Если фильтр, включённый на выходе детектора, пропускает только ту часть спектра, которая лежит в области нулевой частоты, то . Тогда все остальные гармоники можно не моделировать.

Рис. 1.10 Спектр сигнала на выходе детектора и АЧХ фильтра

Тогда для линейного детектора () получаем:

; (1.27)

Для квадратичного детектора ():

. (1.28)

В результате детектирования информация о фазе сигнала теряется. Поэтому комплексная огибающая выходного сигнала будет содержать только действительную составляющую (косинусную квадратуру), мнимая составляющая (синусная квадратура) будет равна нулю (рис. 1.11).

Рис. 1.11 Представление сигнала после детектирования на комплексной плоскости

После амплитудного ограничителя всегда ставят фильтр, который вырезает первую гармонику, поэтому . Кроме того, идеальному амплитудному ограничителю соответствует .

При этих значениях и выходной сигнал амплитудного ограничителя примет вид:

, (1.29)

где ;

;

.

Следует отметить, что фазовые соотношения выходного сигнала амплитудного ограничителя совпадают с фазовыми соотношениями входного сигнала (см. 1.13), а амплитуда постоянна и не зависит от .

В отличие от идеального, амплитуда выходного сигнала реального ограничителя зависит от амплитуды входного сигнала следующим образом (сравните с рис. 1.8 при ).

Рис. 1.12 Характеристика реального амплитудного ограничителя

В большинстве реальных схем фазовых детекторов (ФД) информация извлекается в результате взаимодействия сигнала с некоторым опорным напряжением . Результат такого взаимодействия (с последующей фильтрацией) приблизительно описывается следующим соотношением:

. (1.30)

Если сигнал является узкополосным, а фильтр на выходе детектора пропускает только НЧ часть результирующего сигнала, то выходной сигнал фазового детектора имеет вид:

. (1.31)

Как и при амплитудном детектировании, информация о фазе сигнала теряется. Поэтому комплексная огибающая выходного сигнала будет содержать только действительную составляющую (косинусную квадратуру), мнимая составляющая (синусная квадратура) будет равна нулю.

1. Линейное инерционное звено (на примере избирательной системы)

Такое звено в общем случае описывается интегралом свертки или интегралом Дюамеля:

(1.32)

или в дискретном виде (дискретная свертка)

. (1.33)

Если раскрыть выражение (1.33), то получим:

, (1.34)

из которого видно, что выходной сигнал получается взвешенным суммированием отсчетов входного сигнала с весами .

Если импульсная характеристика затухает медленно, то объем вычислений для расчета каждого отсчета выходного сигнала будет значителен. Поэтому этот метод моделирования – метод дискретной свертки – используют только тогда, когда импульсная характеристика системы достаточно быстро затухает или когда невозможно использование других методов.

Рис. 1.13 Импульсные характеристики системы

Метод дискретной свертки обычно используют при моделировании избирательных систем. При этом импульсную характеристику удобно представить в следующем виде:

, (1.35)

где - центральная частота системы обработки;

- медленно меняющаяся огибающая.

Рис. 1.14 Вид импульсной характеристики

В общем случае импульсную характеристику можно представить в виде:

, (1.36)

где - комплексная огибающая.

Если на входе такой избирательной системы присутствует сигнал с комплексной огибающей , то сигнал на выходе будет равен:

. (1.37)

Эту формулу можно назвать математической моделью избирательной системы (комплексная свертка).

(1.38)

В дискретном виде сигнал на выходе избирательной системы представляется в виде:

(1.39)

где - дискретные отсчеты комплексной огибающей импульсной характеристики;

- дискретные отсчеты квадратурных составляющих входного сигнала.