Статистическое моделирование самоорганизации линейных дислокаций

Рассмотренные в предыдущих разделах методы Монте-Карло и молекулярной динамики оказались эффективны не только по отношению к структурам, построенных из отдельных атомов, но и по отношению к структурам, построенных из более сложных многоатомных объектов – дислокаций.

Дислокации возникают при пластической деформации кристаллов, которая происходит путём сдвига соседних участков кристалла по определённым для каждого кристалла «плоскостям скольжения». Такой механизм возникновения дислокаций всегда имеет место при высокотемпературном синтезе кристаллов, когда неизбежен градиент температуры и обусловленные им значительные термоупругие напряжения.

Дислокации представляют собой одномерные объекты. Это означает, что в одном измерении они имеют макроскопический размер 0.1-1,0 мм, а в двух других размер дислокаций ограничивается несколькими постоянными решётки. Наиболее сильно деформированная центральная часть дислокации – ядро. Дислокацию можно представлять себе как линию, которая делит плоскость скольжения на две части: в одной части сдвиг решётки произошёл, в другой – ещё нет. Дислокационные «линии» могут иметь разную форму и разную ориентацию относительно сдвига.

Мы рассмотрим простейший случай прямолинейной дислокации, лежащей в плоскости скольжения и ориентированной перпендикулярно направлению сдвига. Такая дислокация называется «краевой». Её можно представлять как границу «лишней» плоскости, перпендикулярной плоскости скольжения. Дислокация вносит искажения в решётку и, следовательно, создаёт поле упругих напряжений, величина которых убывает при увеличении расстояния до дислокации. Результат суммирования этих полей и представляет собой т.н. «остаточные напряжения», вызывающие двойное лучепреломление, величина которого является одной из основных характеристик, определяющих качество оптических кристаллов.

С другой стороны, упругие напряжения и деформации кристаллической решётки любого происхождения, вызванные как дефектами кристалла, так и в результате приложения к кристаллу внешних сил, воздействуют на дислокации. Таким образом, каждая из дислокаций находится под воздействием упругих полей всех остальных дислокаций кристалла. Энергия взаимодействия пары краевых дислокаций “i” и “k” в простейшем случае, когда дислокации параллельны друг другу и оси z, записывается в следующем виде:

(2.21)

Здесь ,– координаты дислокаций, – расстояние между дислокациями, величина A рассчитывается по формуле:

(2.22)

G – модуль сдвига, – коэффициент Пуассона, b – длина вектора Бюргерса, характеризующего величину сдвига слоёв при пластической деформации. Обычно, за величину вектора Бюргерса принимают вектор минимальной трансляции в направлении скольжения.

Хорошо известно, что для кристаллов конкретного состава плотность дислокаций и характер их распределения зависит от применяемой технологии. Об этом свидетельствуют как прямые наблюдения дислокаций, так и величина остаточных напряжений. В частности, для уменьшения остаточных напряжений и двулучепреломления давно с успехом используется отжиг кристаллов, при котором кристаллы сначала выдерживаются при высокой, специально подобранной температуре, а затем очень медленно охлаждаются. При этом ансамбль дислокаций претерпевает следующие изменения. Во-первых, уменьшается их общее количество, характеризуемое средним значением плотности. Во-вторых, оставшиеся дислокации перегруппируются: значительная их часть образует дислокационные стенки, которые разделяют кристалл на отдельные блоки с разориентацией от нескольких минут до единиц градусов. Процесс образования блоков носит название «полигонизации».

Самоорганизация дислокационных стенок

Естественно полагать, что в результате отжига получается энергетически более выгодная (соответствующая меньшему значению энергии) конфигурация дислокаций

В работе [35] был предложен алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, позволяющий моделировать перестройку дислокаций при отжиге. В нём используется тот же принцип релаксации, который описан в разделе для случая атомных структур. В расчёте использовались численные значения параметров G, b и для кристаллов флюорита. Этот кристалл является классическим оптическим материалом. Улучшение его качества является в настоящее время весьма актуальной проблемой в связи с использованием флюорита в качестве материала для фотолитографических объективов.

Рис.2.23 Геометрия модели

Моделировался ансамбль краевых дислокаций, пространственное расположение которых было ограничено одной системой скольжений [110](001). Все дислокации были параллельны оси z и имели вектор Бюргерса, направленный по оси x. Рассматривалось как перемещение в плоскости скольжения, так и переползание. Таким образом, фактически модель имела два измерения в плоскости xy, на которой или строилось распределение компонент тензора напряжений или распределение точек, изображающих выходы дислокаций.

Моделирование выполнялось в два этапа: первый состоял в нахождении пространственного распределения дислокаций, второй – в вычислении распределения компонент тензора напряжений sxx, syy sxy, создаваемого этими дислокациями.

Моделирование начиналось со случайного распределения внутри квадрата со стороной L заданного числа точек N, символизирующих выходы дислокаций на xy плоскость. Обычно полагалось L = 1мм, а N варьировалось в пределах 100-500, что соответствует обычному диапазону плотности дислокаций (10⁴ ­ 5x10⁴) см^–2 для флюорита [6].

.Вычислялась энергия взаимодействия системы дислокаций друг с другом E согласно соотношению:

(2.23)

где определяется выражением (2.21). В этом выражении параметр А, значение которого может быть легко получено для конкретного материала, соответствует взаимодействию пары отрезков дислокаций единичной длины. Так как модель фактически была двухмерной, то осознанный выбор значения этого параметра для неё требует специального анализа. Однако, оказалось, что для нулевой температуры – случая, к которому относится основная часть расчётов, величина А не влияет на окончательное распределение дислокаций. Обычно, полагалось А=1.

При суммировании в (2.23) по всем дислокациям использовались обычные для методов Монте-Карло и молекулярной динамики периодические граничные условия (2.3.2).

Основную часть алгоритма составляла релаксация энергии модели методом Монте-Карло путём рассмотрения последовательности «пробных» сдвигов отдельных дислокаций. Это осуществлялось по обычной схеме следующим образом.

Выбиралась «случайная» дислокация для сдвига. В зависимости от моделируемой ситуации (скольжение, или скольжение и переползание) одна, или обе координаты изображающей дислокацию точки изменялись на случайное число из равномерного распределения на интервале [-h, h]. Вычислялось изменение энергии модели DE, вызванное пробным сдвигом.

В случае DE < 0 сдвиг принимался, и дальнейшая релаксация исходила из новой конфигурации.

В случае DE > 0 вычислялась величина p=exp(­DE/kT) и новое случайное число r из равномерного распределения на интервале [0,1] определяло судьбу конфигурации. При p > r конфигурация принималась. При p > r – отвергалась, дислокации занимали старое положение, и опробовался новый вариант сдвига дислокаций.

Основная часть расчётов производилось при более жёстких условиях, когда сдвиг принимался только в случае DE < 0, что согласно общей схеме соответствует случаю нулевой температуры. При этом температура рассматривалась только как параметр, характеризующий условия релаксации.

Использование отличной от нуля температуры значительно расширяет возможности релаксации модели. В частности, варьирование температуры позволяет существенно изменить ход релаксации модели, что позволяет надеяться на расширение числа вариантов релаксированных дислокационных структур. Ещё более важен при характеризации температуры был бы переход от относительных единиц к абсолютным, для чего требуется определение значения параметра А в формуле (2.21).

Наиболее интересный результат, полученный при моделировании, состоял в "самоорганизации" расположения дислокаций и образования дислокационных стенок, расположенных перпендикулярно плоскости скольжения. Этот результат естественно трактовать как моделирование процессов отжига и формирование кристаллических блоков.

Наибольшее внимание при моделировании было уделено двум случаям: (а) релаксации дислокаций одного типа и (б) релаксации дислокаций двух типов, отличающихся знаком вектора Бюргерса.

Рис 2.24 Самоорганизация дислокаций с одним направлением вектора Бюргерса в дислокационные стенки. (а) – до релаксации; (б) – после релаксации.

Дислокации одного типа. Число дислокаций в модели варьировалось от 60 до 1000, при этом плотность менялась в диапазоне 10³ -10⁵ см^-2. Во всех случаях релаксация приводила к образованию дислокационных стенок перпендикулярных плоскости скольжения. Число стенок и их вид менялся в ходе релаксации. На начальном этапе стенки были размыты, а их число могло достигать 6. Постепенно стенки обужались, а их число уменьшалось. Длительная релаксация всегда приводила к образованию только двух стенок, расстояние между которыми равнялось половине размера модели L. (Рис.2.24) Последний результат легко объясняется использованием периодических граничных условий: отталкивание стенок внутри модели уравновешивалось отталкиванием «через границу» с «изображением», расположенным внутри периодического продолжения модели.

Как и следовало ожидать, полигонизация приводила к перераспределению остаточных напряжений в модели при общем их уменьшении (Рис.2.25). Напряжения концентрируются в основном в непосредственной близости от дислокационных стенок (границ блоков). Внутри самих блоков плотность дислокаций и напряжений значительно уменьшалась, области кристаллической решетки здесь «распрямляются».

Рис 2.25 Самоорганизация дислокаций с двумя направлениями вектора Бюргерса в дислокационные стенки

Дислокации двух типов. Модель содержала 200 дислокаций, причём 100 имели значение вектора Бюргерса +b , а 100 – -b.Набор картин пространственного распределения дислокаций, получающихся в ходе релаксации, был более разнообразен, чем в случае дислокаций одного типа. Наряду с дислокационными стенками наблюдались ещё две особенности: (1) случаи точного пространственного совпадения дислокаций разного знака, которые естественно трактовать как взаимную аннигиляцию дислокаций и (2) дислокационные диполи – пары дислокаций разного знака ориентированные под углом p/4 к осям модели. Число дислокационных стенок равнялось 4. Каждую из стенок образовывали дислокации только одного знака, причём знак дислокаций у соседних стенок был всегда противоположен (рис. 2.23).

Моделирование релаксации остаточных напряжений

Статистическая модель позволяет рассчитать пространственное распределение напряжений, создаваемых дислокациями в материале. Для двумерной модели поле напряжений характеризовалось тремя компонентами тензора , , , которые вычислялись согласно известным соотношениям, полученным в приближении, неучитывающем анизотропию материала

	(2.24а)
	(2.24б)

Здесь x, y – координаты точки, в которой вычисляются напряжения , – координаты дислокации с номером i, D=A/b.

Рис. 2.26 Моделирование пространственного распределения напряжений дислокаций одного типа: a, b – до релаксации, c,d – после релаксации.

Формулы (2.24) легли в основу программы расчета компонент тензора напряжений: , , ,. возбуждения.

Процент дислокаций, образующих стенки, диполи, или аннигилировавших зависел от способа релаксации модели. В случае сдвигов только по х (в плоскости скольжения) аннигилирующих дислокаций мало, основная часть образует стенки, наблюдаются диполи. Наоборот, при сдвигах в двух направлениях (скольжении и переползании) больше половины дислокаций аннигилируют. В этом случае релаксация наиболее существенно уменьшает остаточные напряжения.

Существенным результатом расчёта является факт, что рассчитанные в ходе моделирования значения напряжений оказались близки по величине к экспериментальным данным для флюорита. Это позволяет сделать вывод, что дислокационный вклад в остаточные напряжения является одним из самых важных.

Основные положения главы 2

Особенность всех рассмотренных в настоящей главе моделей состоит в том, что их структура возникает автоматически в ходе выполнения вычислительного алгоритма. Фактически она определяется выражением, описывающим взаимодействие составляющих модель частиц (обычно, атомов). Это выражение задаётся исходно.

Целесообразно классифицировать рассмотренные структурные модели по трём особенностям: (а) типу учитываемого взаимодействия (б) алгоритму релаксации и (в) по размеру.

Характер взаимодействия частиц модели определяет её структуру. В реальных материалах, как правило, существует несколько типов взаимодействия. Перед исследователем возникает задача – подразделить их по степени важности.

Простейшим типом взаимодействия является отталкивание заполненных электронных оболочек. Оно неплохо имитируется моделью жёстких сфер. Считается, что это взаимодействие является основным фактором, определяющим структуру стеклообразных металлов.

Ионное взаимодействие наряду с отталкиванием заполненных электронных оболочек учитывает кулоновское взаимодействие частиц. При построении структурных моделей неожиданно выяснилось, что ионное взаимодействие способно объяснить гораздо более широкий круг фактов, чем это предполагалось. В частности, ионного взаимодействия оказалось достаточно для спонтанного появления в моделях стекла «структурных кирпичей» – тетраэдров и т.п., существование которых приписывалось ранее исключительно ковалентным связям.

Ковалентное взаимодействие для статистического моделирования структур материалов является наиболее сложным. Достаточно сказать, что его учёт требует рассмотрения трёхчастичного потенциала (2.18).

Естественно, что в моделях, где в роли частиц выступают не отдельные атомы, а целые атомные образования – дислокации, характер взаимодействия должен быть специфичным.

Релаксация. В пособии рассматривается два способа релаксации, основанные, соответственно, на методах Монте-Карло и молекулярной динамики.

Для релаксации структур по методу Монте-Карло наибольшее распространение получил алгоритм Метрополиса, который состоит в последовательности пробных сдвигов атомов по одному на случайный вектор. Пробный сдвиг принимается в двух случаях: (1) если энергия модели понижается и (2) если окажется, что очередное случайное число из интервала [0,1] меньше, чем . В противоположном случае – пробный сдвиг отвергается.

В методе молекулярной динамики релаксация модели производится путём решения уравнений классической механики Ньютона для каждого из атомов. При этом атомы рассматриваются как взаимодействующие точки. Каждый атом движется в поле сложной формы, создаваемом всеми остальными атомами. Таким образом, в методе молекулярной динамики имитируются движения атомов в реальном времени. Эта особенность позволяет использовать молекулярную динамику для моделирования кинетических характеристик материалов: колебательного спектра, диффузии, моделировать процесс разрушения материалов и исследовать локализацию колебаний,

Размер модели. По размеру целесообразно разделить модели на две группы: кластерные и протяжённые.

Под кластерной моделью здесь понимается модель, состоящая из центрального (комплексообразующего) атома и его ближайшего окружения – лигандов. Количество атомов в такой модели, обычно, не превышает десяти.

Под «протяженными» моделями подразумеваются структурные трёхмерные модели небольшого участка материала, состоящие из сотен, или тысяч атомов. Такие модели имеют, обычно, форму куба, размер которого определяется плотностью моделируемого материала и количеством атомов

При построении всех протяжённых моделей использовались одни и те же граничные условия. Они состоят в том, что всё пространство заполняется одинаковыми кубами, так что вершины кубов образуют кубическую решётку. В каждом из кубов располагаются все атомы модели совершенно одинаковым способом. Каждый сдвиг атомов происходит одинаковым образом во всех кубах. При вычислении воздействия на выбранный атом этот атом всегда оказывается в центре куба.

При сравнении различных моделей выясняется, что каждая из них по сравнению с другими имеет как преимущества, так и недостатки. Поэтому на выбор модели влияют многие факторы.

Кроме того, возможность экспериментирования с разными моделями позволяет, в принципе, выяснить, с какой особенностью модели связано то или иное свойство материала. Примером такого рода результата является обнаружение «универсальных свойств» штарковской структуры в спектрах активированных стёкол.